¿Cómo se resuelve este límite? Lim cuando x tiende a 0 de: 2-2cosx -x^2 / tg^2 - sn^2 ?
lim cuando x-->o de:
(2 - 2cos x - x^2) / tg^2 - sen^2
Lo necesito urgente ya que es para corregir un final que hice hoy y me lo dan para corregir el lunes. Muchas gracias!
1 Respuesta
No estoy seguro de la expresión, lo que has escrito es una cosa pero pienso que querías poner otra. Esto es lo que has puesto de acuerdo con las reglas de preferencia de orden en las operaciones
$$a)\quad\lim_{x\to 0} \frac{2-2cos x-x^2}{tg^2 x}-sen^2x$$Pero creo que habrás querido poner esto:
$$b) \quad \lim_{x \to 0}\frac{2-2cos x-x^2}{tg^2 x-sen^2x}$$Dime cual de las dos expresiones es la que hay que ue calcular.
Es la primera vez que hago una pregunta por eso se me dificultó para ponerlo, gracias por tener en cuenta que podría ser de alguna de las dos maneras.
El límite que necesito resolver es el b. Si usted podría encontrar la respuesta se lo agradecería. Saludos.
He intentado simplificar la expresión por todo tipo de fórmulas trigonométricas y no se consigue nada. Luego no queda otro remedio que usar la regla de l'Hôpital. Derivaremos numerador y denominador tantas veces como sea necesario para que desaparezca la indeterminación 0/0. Sobre las diversas expresiones de la derivada de tg x me parece que 1+tg^2(x) es la que más nos va a ayudar.
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}\frac{2-2cos x-x^2}{tg^2 x-sen^2x} =\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0}\frac{2sen x-2x}{2tgx(1+tg^2x)-2senx·cosx}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0} \frac{2senx -2x}{2tgx+ 2tg^3x-sen\, 2x}=\\ &\\ &\\ &\text {es 0/0 volvemos a aplicarlo}\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{2cosx-2}{2(1+tg^2x)+6tg^2x(1+tg^2x)-2 \cos 2x} =\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{2 \cos x -2}{2+8tg^2x+6tg^4x-2 \cos 2x}=\\ &\\ &\\ &\text{de nuevo 0/0 y volvemos a aplicarlo}\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{-2senx}{16tgx(1+tg^2x)+24tg^3x(1+tg^2x)+4sen\,2x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{-2senx}{16tg x+40tg^3x+24tg^5x+4sen\,2x}=\\ &\\ &\\ &\text{sigue siendo 0/0 se aplica otra vez}\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0} \frac{-2cosx}{16(1+tgx)+120tg^2x(1+tg^2x)+120tg^4x(1+tg^2x)+8 \cos 2x}=\\ &\\ &\\ &\frac{-2}{16+8}=-\frac{2}{24}=-\frac{1}{12} \end{align}$$Y eso es todo.
