Demostración que la suma de las intersección con respecto a los ejes x y y de cualquier recta..

Necesitamos saber la pendiente de la recta tangente en un punto. Se puede despejar tranquilamente la y, pero dado que estamos en la parte de derivación implícita lo haremos sin despejarla

Derivamos en ambos lados de la igualdad respecto a x considerando que y es una función de x

$$\begin{align}&\frac{1}{2 \sqrt x}+ \frac{y´}{2 \sqrt y}= 0\\ &\\ &\frac{y´}{2 \sqrt y} = - \frac{1}{2 \sqrt x}\\ &\\ &y´= -\frac{2 \sqrt y}{2 \sqrt x}=-\sqrt{\frac yx}\end{align}$$

En un punto (xo, yo) la recta tangente es

y = yo + f '(xo) (x-xo)

$$\begin{align}&y =y_0-\sqrt{\frac{y_0}{x_0}}\;(x-x_0)\\ &\\ &\text {El corte con el eje Y es}\\ &\\ &y=y_0+x_0 \sqrt{\frac{y_0}{x_0}}= y_0 +\sqrt{x_0y_0}\\ &\\ &\text{Y el corte con el eje X es}\\ &\\ &0 =y_0-\sqrt{\frac{y_0}{x_0}}(x-x_0)\\ &\\ &\sqrt{\frac{y_0}{x_0}}(x-x_0)=y_0\\ &\\ &x \sqrt{\frac{y_0}{x_0}}=y_0+x_0 \sqrt{\frac{y_0}{x_0}}\\ &\\ &x= \frac{y_0}{\sqrt{\frac{y_0}{x_0}}}+x_0 = \sqrt{x_0y_0}+x_0\\ &\\ &\text{Y la suma de los cortes con los ejes es:}\\ &\\ &Suma=y_0+\sqrt{x_0y_0}+ \sqrt{x_0y_0}+x_0 =\\ &\\ &x_0+2 \sqrt{x_0y_0}+y_0=(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0})^2=\\ &\\ &\text{Como }(x_0,y_0)\text{es un punto de la curva, satisface}\\ &\\ &\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}= \sqrt{c}\\ &\\ &luego\\ &\\ &Suma= (\sqrt c)^2 = c\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.