Dibujar en un esquema la región 7

1) Esta es la región

2) La integraremos respecto de x. Vemos que la figura es simétrica respecto del origen. Eso es así porque ambas funciones son impares, cumplen f(-x) = -f(x) el extremo

Si hacemos la integral entre el extremo derecho e izquierdo de un tirón nos dará cero porque las funciones se cortan y lo que a un lado del eje Y es positivo en el otro lado es negativo. Luego debemos hacerla en dos tramos y sumar los valores absolutos. O más sencillo, ya que sabemos que los dos lados son simétricos tienen área simétrica, calculamos la integral de un lado y la multiplicamos por 2.

Vamos a calcular la coordenada x del punto de intersección

x^3-x = 3x

x^3 = 4x

x^2 = 4

x = -2 y 2

Luego calcularemos la integral entre 0 y 2 y la multiplicaremos por 2.

$$\begin{align}&Area=2\int_0^2(3x-x^3+x)dx=\\ &2\int_0^2(-x^3+4x)dx=\\ &\\ &\\ &2\left[-\frac{x^4}{4}+2x^2  \right]_0^2= \\ &\\ &\\ &2\left(-\frac{16}4+8\right) = 2·4=8\end{align}$$

Y eso es todo.