Determinar valor de "x" con 2 decimales

Ya ice la parte de los ceros en otra pregunta. Ahora vamos con las asíntotas verticales, que son las raíces del denominador.

- 7x^3 + 8x^2 +14x -8

Mejor le cambiamos el signo a todos los coeficientes que las raíces son las mismas

P(x) = 7x^3 - 8x^2 - 14x + 8

Hay dos cambios de signo, luego hay 2 raíces positivas o ninguna

Q(x) = P(-x) = -7x^3 - 8x^2 + 14x + 8

Hay un cambio de signo, luego hay 1 raíz negativa

Una cota superior de las rices positiva es un valor C donde el polinomio y las derivadas son todas no negativas

P(x) = 7x^3 - 8x^2 - 14x + 8

P'(x) = 21x^2 - 16x - 14

P''(x) = 42x - 16

P'''(x) = 42

Para C=1 tenemos P'''(1) y P''(1) > 0 pero P'(1) <0 no lo es, aumentamos C = 2

P'(2) = 84 - 32 -14 = 38

Veamos cuanto vale P(2)

P(2) = 56-32-28+8 = 4

Luego 2 es cota superior de las raíces positivas.

Para las negativas, como solo hay una, buscaremos un punto con signo distinto que el que valor en cero

P(0) = 8

P(-1) = -7-8-14+8 = 7 tiene el mismo signo , probamos con .2

P(-2) = -56-32+28+8 = -52

Luego la raíz negativa está entre -2 y -1. Además podemos hacer interpolación para darle un valor inicial

Entre 7 y -52 hay 59, tomamos 7/59 a la izquierda de -1

-1-7/59 = -66/59 = 1.12

Ese será el valor inicial que demos a la raíz negativa y vamos a hacer las iteraciones

$$\begin{align}&x_0=-1.12\\ &\\ &x_1= -1.12 - \frac{7(-1.12)^3-8(-1.12)^2-14(-1.12)+8}{21(-1.12)^2-16(-1.12)-14}=-1.25\\ &\\ &x_2= -1.25 - \frac{7(-1.25)^3-8(-1.25)^2-14(-1.25)+8}{21(-1.25)^2-16(-1.25)-14}=-1.23\\ &\\ &x_3= -1.23 - \frac{7(-1.23)^3-8(-1.23)^2-14(-1.23)+8}{21(-1.23)^2-16(-1.23)-14}=-1.23\end{align}$$

Luego la raíz negativa con dos decimales es -1.23

Vamos a ver si hay dos positivas o cero. Observemos que

P(1) = 7 - 8 -14 +8 = -7

Mientras que P(0) = 8

Luego hay dos raíces, una entre 0 y 1 y otra entre 1 y 2

Tomemos 0.5 como aproximación inicial

$$\begin{align}&x_0=0.5\\ &\\ &x_1= 0.5 - \frac{7(0.5)^3-8(0.5)^2-14(0.5)+8}{21(0.5)^2-16(0.5)-14}=0.49\\ &\\ &x_2= 0.49 - \frac{7(0.49)^3-8(0.49)^2-14(0.49)+8}{21(0.49)^2-16(0.49)-14}=0.49\end{align}$$

Luego la primera raíz positiva es 0.49

Ahora P(1)=-7 y P(2)=4

tomemos por interpolación el valor 1+ 7/11 = 1.64

$$\begin{align}&x_0=1.64\\ &\\ &x_1= 1.64 - \frac{7(1.64)^3-8(1.64)^2-14(1,64)+8}{21(1.64)^2-16(1.64)-14}=1.98\\ &\\ &x_2= 1.98 - \frac{7(1.98)^3-8(1.98)^2-14(1.98)+8}{21(1.98)^2-16(1.98)-14}=1.89\\ &\\ &x_3= 1.89 - \frac{7(1.89)^3-8(1.89)^2-14(1.89)+8}{21(1.89)^2-16(1.89)-14}=1.88\\ &\\ &x_4 = 1.88 - \frac{7(1.88)^3-8(1.88)^2-14(1.88)+8}{21(1.88)^2-16(1.88)-14}= 1.88\end{align}$$

Ya está. Luego los puntos donde hay asíntota vertical son:

-1.23

0.49

1.64

Y eso es todo.