Demuestre que para cuales quiera a, b se cumple

Todas estas cosas tienen un orden. En el libro primero te enseñan como se calcula el

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb

Y a partir de esta usando las propiedades de las funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc se llega a las cuatro fórmulas fundamentales que son estas

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb

cos(a-b) = cosa·cosb + sena·senb

sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb

sen(a-b) = sena·cosb - cosa·senb

Todo esto que he dicho se supone que tienes la teoría con las demostraciones.

Sumemos la tercera y la cuarta

sen(a+b) +sen(a-b) = 2 sena·cosb

Ahora vamos a sustituir los argumentos a y b por una expresión, donde pone a pondremos (a+b)/2 y donde pone b pondremos (a-b)/2

$$\begin{align}&sen\left(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right)+sen\left(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)=2sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}  \right)\\ &\\ &\\ &sen\left(\frac {a+a}{2}  \right)+sen\left(\frac {b+b}{2}  \right)=2sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}  \right)\\ &\\ &\\ &sen\,a +sen\,b =2sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}  \right)\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.