Ecuaciones diferenciales reducción de orden

determine una segunda solución en cada ecuación diferencial del problema. Usar la reducción de orden

y'' + 2 y' + y = 0

y1 = x. E^(-x)

yo lo estoy resolviendo de la siguiente forma:

y2 = u(x).y1(x)

y2 = u. Xe^(-x)

y'2 = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)

y''2 = u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)

en la ecuación diferencial

y'' +2y' +y = 0

[u''.x.e^(-x) + 2.u'.e^(-x) - 2.u'.x.e^(-x) - 2.u.e^(-x) - u.x.e^(-x)] + 2 [u'.x.e^(-x) +u.e^(-x) - uxe^(-x)] + [u. Xe^(-x)] = 0

al resolver esto me da lo siguiente:

u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2uxe^(-x) = 0

lo siguiente que hay que realizar es otra sustitución de acuerdo al tema

w = u'

w' = u''

sustituyendo me da lo siguiente:

w'.x.e^(-x) + 2.w.e^(-x) - 2[integral de w dx] xe^(-x) = 0

al factorizar mas:

e^(-x) [ w' x + 2w -2(integral w dx) ] = 0

w' x + 2w -2(integral w dx) = 0

mi duda para seguir el ejercicio es la integral de w no se como seguir y encontrar u(x) para poder encontrar la otra solución de y2 o no se que se puede hacer con eso si se realizar de otra forma por favor me podrías ayudar con esto muchas gracias!!!!

1 Respuesta

Respuesta
1

Creo que te ha equivocado en el cálculo de y2'' en el último térrmino

y2 = u. xe^(-x)
y2' = u'.x.e^(-x) +ue^(-x) - uxe^(-x)

y2'' = u''xe^(-x) + u'[e^(-x)-xe^(-x)] + u'e^(-x) - ue^(-x) - u'xe^(-x) - u[e^(-x)-xe^(-x)] =

u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x)

Y como y2 debe cumplir la ecuación

y'' +2y' +y = 0

entonces

u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) - 2u'xe^(-x) - 2ue^(-x) + uxe^(-x) + 2u'xe^(-x) +2ue^(-x) - 2uxe^(-x) + uxe^(-x) = 0

u''xe^(-x) + 2u'e^(-x) = 0

Aquí ves la diferencia en que tenías un termino de más que lo fastidiaba todo

Llamando

w=u'

w'=u''

w'xe^(-x) +2we^(-x) = 0

w'x + 2w = 0

w'x = -2w

w'/w = -2/x

ln w =-2lnx

ln w = 2ln(1/x) = ln(1/x^2)

w = 1/x^2 + C

u = $wdx = $(1/x^2 + C) dx = -1/x + Cx +D

con lo cual

y2 = (-1/x +Cx+D)xe^(-x)

y2= -e^(-x) + Cx^2·e^(-x) + Dxe^(-x)

Si simplemente nos piden una tomemos la más fácil

y2= -e^(-x)

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas