Álgebra moderna permutaciones.

a) Si.

f1 es inyectiva. Si x+1 = y+1 ==> x=y

F1 es sobreyevtiva. Dado x, se cumple f1(x-1) = x

b) No.

No es inyectiva (2)^2 = (-2)^2. En general (-x)^2 = x^2

c) Si

Es inyectiva. x^3 =y^3 ==> x=y

Es sobreyectiva dado x tomamos y =x^(1/3), y^3=x

d) No.

No es suprayectiva. Dado x<0 no existe y tal e^y = x. Porque e^x es siempre positiva

e) No

No es inyectiva f5(x)

x^3-x^2-2x = x(x^2-x-2) =

Se puede resolver mentalmente, sino lo ves utiliza la formula

=x(x-2)(x+1)

luego al menos f(0)=f(2)=f(-1)=0

Y si realizas la gráfica veras que son infinitos los puntos con igual valor.

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4.2

Expresemos la permutación en notación de ciclos

(1 2 3 4 5)
(2 4 5 1 3)
es
p = (1, 2, 4)(3,5)
p^2 = (1,2,4)(3,5)(1,2,4)(3,5) = (1,4,2)
p^3 = (1,4,2)(1,2,4)(3,5) = (3,5)
p^4 = (3,5)(1,2,4)(3,5) = (1,2,4)
p^5 = (1,2,4)(1,2,4)(3,5) = (1,4,2)(3,5)
p^6 = (1,4,2)(3,5)(1,2,4)(3,5) = e

No, no es isomorfo. Este grupo es abeliano mientras que S3 no lo es.

(1,2,3)(1,2) = (2,3)

(1,2)(1,2,3) = (1,3)

Si fueran isomorfos serian los dos abelianos o no abelianos.

4.5

En lugar de la letra griega sigma usaremos la letra p.

El teorema de caracterización e subgrupos dice:

Sea G un grupo y H un subconjunto de G. Entonces H es un subgrupo de G si se cumoplen estas dos condiciones:

i) H es no vacio.

Ii) Para cualesquiera elementos a, b € H se verifica ab' € H. Donde con b' denoto al inverso de b

Demostración:

i) La identidad e € Ta puesto que ae=a

ii) Sean p, q € Ta. Verifican ap = aq = a

Si una permutación deja quieto un elememto, la permutación inversa también lo deja, pues si lo moviese no se cumpliría que el producto de ambas es la identidad.

Luego aq' = a

Veamos que pq' deja fijo al elemento a

a(pq') =(ap)q' = aq' = a

Luego pq' € Ta

Y demostradas i) y ii) se concluye que Ta es un subgrupo de SA

Y eso es todo.