Multiplicadores de Lagrange
Tengo una duda :S tengo que usar multiplicadores de lagrange para:
Encontrar la distancia del punto (0,0,0) a la recta que es la intersección de los planos x+y-z=2 y 2x-y+z=1
Ayuda porfavor!
1 respuesta
Depende de lo que estés estudiando. Si estás estudiando análisis multivariable seguramente tendrás que resolverlo por los multiplicadores de Lagrange. Si estas estudiando Álgebra Lineal tendrías que usar alguna fórmula de distancia punto a recta que no es precisamente de las que se acuerda uno toda la vida, pero que existe.
Estoy estudiando análisis multivariable :)
Tengo que usar multiplicadores de lagrange
Pero no sé como usarlos en este caso :S
Eso suponía.
Tienes que minimizar la función distancia al punto sometida a dos ecuaciones de ligadura.
Y quien dice minimizar la función distancia dice minimizar el cuadrado de la función distancia, que si no hay una raíz cuadrada que es molesta de escribir y derivar
Luego minimizaremos esta función
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
con las condiciones
x + y - z - 2 = 0
2x - y + z - 1 = 0
Llamando t y s a los multiplicadores de Lagrange sea la función
g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 + t(x + y - z - 2) + s(2x - y - z - 1) = 0
Y debemos derivar g respecto de las tres variables e igualar a 0. Entre estas tres ecuaciones y las dos de ligadura se deben despejar los multiplicadores y los puntos críticos
1) gx(x,y,z) = 2x + t + 2s = 0
2) gy(x,y,z) = 2y + t - s = 0
3) gz(x,y,z) = 2z - t - s = 0
4) x + y - z - 2 = 0
5) 2x - y + z - 1 = 0
Si sumamos 4ª y 5ª tenemos 3x-3 = 0 ==> x=1
Si llevamos ese valor a la 4ª tenemos 1+y-z-2=0 ==> z=y-1
Con esos dos valores vamos a las tres primeras
6) 2 + t + 2s = 0
7) 2y + t - s = 0
8) 2y - 2 - t - s = 0
Si sumamos 7ª y 8ª
4y - 2 - 2s = 0
9) y = (2s+2)/4 = (s+1)/2
llevando esa valor a la 7ª
s+1 + t - s= 0 ==> t=-1
ahora llevamos este a la 6ª
2 -1 + 2s = 0
s = -1/2
con lo cual en la 9ª
y =(-1/2 + 1) / 2 = 1/4
Y no le puse número pero por arriba estaba despejada la z
z =y-1 = 1/4 -1 = -3/4
Luego el único punto crítico que sale y mínimo por lo tanto es:
(1, 1/4, -3/4)
Y eso es todo.
