Pregunta de producto escalar
Hola valeroasm!
Uno conoce la forma de realizar un producto escalar de dos vectores en si es una operacion binaria, mi pregunta es si puedo realizar el producto escalar de un vector de R2 con otro de R3, estaba investigando y tambien se pueden realizar distintos productos escalares como por ej de matrices, (esto se realiza en un espacio euclideo, supongo), quisiera saber si en tal caso puedo definir un producto escalar como lo pedido.
Saludos
1 Respuesta
Es la primera vez que veo algo así. Me ha sorprendido tanto que he ido a la Wikipedia a ver la definición por si había algo que no sabía.
No, no se puede hacer el producto escalar de vectores de R2 y R3, la Wikipedia dice claramente que el producto escalar es una operación binaria de un espacio vectorial sobre si mismo y con resultado en el cuerpo del espacio vectorial.
Si, hay productos escalares en cualquier espacio vectorial, de ahí que los haya en espacios vectoriales de matrices, polinomios, funciones, etc. Basta con dar con una operación binaria en es espacio sobre el cuerpo que cumpla esas tres condiciones que dice la Wikipedia. Dichas condiciones se simplifican un poco cuando el cuerpo del espacio vectorial no es complejo ya que los conjugados son los mismos que los originales.
Podremos hacer el producto vectorial de un vector de R2 por otro de R3 si hacemos que que el de R2 se haga de R3, añadiendo un cero como tercera coordenada y entonces ya está. O si la tercera coordenada del de R3 es cero la podemos quitar y hacer el producto escalar en R2. Pero no con cualesquiera vectores de R2 y R3 puede hacerse tan sencillo, deberás formar el plano que pasa por el origen y contiene los dos vectores y crear una base ortonormal.
Y el producto escalar en los espacios R2 y R3 es el módulo de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esa es otra forma de calcular el producto escalar de uno de R2 por R3.
Pero hablando estrictamente el producto escalar es de un espacio sobre si mismo.
Y eso es todo.
