Integral de Riemann-Stieltjes

Para que ambas expresiones de G1(f) sean iguales debe cumplirse que el integrando y los límites sean iguales cuando pongamos ambas integrales definidas respecto de la misma variable, si no es imposible que podamos asegurar la igualdad para cualquier función f(x)

Lo más sencillo es que lleguemos a expresar la segunda en función de x para así poder hacer la comparación

Dado que f(x) está en ambos sitios para que el integrando sea igual debe ser

2dx = dg

Y los límites respecto de g se transformarán en límites respecto de x cuando hagamos el cambio de variable g = g(x), luego

Para g=0 debe ser 0=g(0)

Para g=1 debe ser 1=g(1/2)

Integrando en los dos lados de la expresión

2dx = dg

tendremos

2x = g

luego g será una función de x y será esta

g(x) = 2x

y veamos que cumple las otras dos condiciones

g(0) = 2·0 = 0

g(1/2) = 2·(1/2) = 1

Luego esa es la función

g(x) = 2x

Que además es monótona creciente tal como dicen.

Y eso es todo.