Integral del valor absoluto?

Con los valores absolutos hay que considerar cuando es positivo y cuando es negativo el contenido, y hacer un cambio de signo cuando es negativo.

Entonces la función integral será una función a trozos

f(x) = |x+4| =  -x-4 si x <-4
                 x+4 si x >= 4
$|x+4|dx = -(x^2)/2 - 4x + C si x<-4
            (x^2)/2 + 4x + C si x>=4

Se puede integrar en una sola expresión aunque en la práctica no se gana nada

$|x+4|dx = sgn(x+4)[(x^2)/2 +4x] + C

Si tenemos que calcular la integral definida nos fijaremos en que parte están los extremos, si ambos son menores o iguales que -4, o ambos son mayores o iguales que -4 aplicamos la regla de Barrow en el lado donde están. Pero si un extremos está en un lado y otro en el otro no sirve esa regla porque la función no es derivable en x=-4 y la integral es discontinua en ese punto. Habrá que integrarla dividiéndola en dos partes por el -4 o hacerla sin dividirla y sumar 16 al resultado. Eso es así porque la integral por la izquierda vale 8 y por la derecha -8 con lo cual habremos perdido 16 al pasar por el -4.

Y eso es todo.