Calculo términos enésimos

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Usuario

Te planteo 3 problemas sobre el asunto:
1.- Término enésimo de la sucesión: 0/7, 3/14, 8/21, 15/28 (el denominador entiendo que será 7n pero me atasco en el numerador).

2.- Una ciudad genera 400 tm de residuos. Se aplica un plan para reducirlo a sus 3/4 partes cada año. ¿Cuánto se producirá el año n? (¿puede ser: 400-((3/4*400(n-1))?

3.- Miguel consigue 3 cromos la 1ª semana y cada semana siguiente 1 más que la anterior y Lucía consigue 1 cromo la 1ª semana y cada semana siguiente el doble de la anterior. ¿Quién conseguirá más la semana 13? ¿y la n?.

Ya por último, ¿hay alguna fórmula que permite el cálculo del término enésimo?

Muchísimas gracias por tu ayuda, aunque la verdadera beneficiaria será mi hija, estudiante de 2º ESO.

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Experto

¡Hola Gijones!

 

1.-  El denominador si, es 7n, porque lo normal es llamar 1 al primer término, aunqueue en algunos casos se llama cero.  El numerador tiene toda la pinta, y de hecho es, la sucesión de cuadrados menos una unidad

0=1-1

3=4-1

8=9-1

15=16-1

Luego el termino general es:

ai = [(i^2)-1] / (3i) 

Léase ai como a sub i

 

2.- Aquí es muy importante la precisión en el lenguaje.  El problema dice:

Se aplica un plan para reducirlo a sus 3/4 partes cada año.

Eso significa que si un año es x, al año siguiente sea (3/4) de x = 3x/4

No nos han dicho reducirlo en 3/4 partes cada año.  Eso sería que al año siguiente sería x-3x/4 = x/4

Entonces se produciá x, se quiere q

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Experto

Perdona, han puesto alguna combinación de teclas fácil de pulsar que manda la pregunta sin querer, ya me ha pasado varias veces.  Continúo con el problema.  Espera.

Un saludo.

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Experto

Entonces, si se producía x se quiere que en el primer año se produzcan 3x/4.

Que en e el segundo sean (3/4) de 3x/4 = (3/4)(3/4)x = x(3/4)^2

Que en el tercero sean (3/4) de x(3/4)^2 = x(3/4)^3

La única ambiguedad esta en si llamamos año cero o año uno al primero.

Si lo llamamos año cero, la producción de residuos en el año n es

residuos = 400(3/4)^(n+1)

Si lo llamamos año uno, es:

residuos = 400(3/4)^n

 

3.- Miguel consigue 3 cromos la 1ª semana y cada semana siguiente 1 más que
la anterior y Lucía consigue 1 cromo la 1ª semana y cada semana
siguiente el doble de la anterior. ¿Quién conseguirá más la semana 13?
¿y la n?.

La sucesión de cromos conseguidos cada semana de MIguel es

3, 4, 5, 6,...

La de Lucía es

1, 2, 4, 8, 16

Está claro que Lucia conseguirá más cromos la semana 13, ya en la cuarta consigue más su progresión es geométrica mientras que la de Miguel es aritmética.

En concreto:

Miguel conseguirá 13 cromos

Lucia 2^12 = 4096

 

En la semana n

Miguel consigue n cromos

Lucía 2^(n-1) cromos

Y a veíamos de acuerdo a los números de arriba que MIguel consigue más si n=1,2 o 3

Si n >= 4 es Lucía la que consigue más cromos.

 

Calcular el término enésimo o general depende de cuál sea la sucesión del problema.

Si es aritmética el término general

an = a1 + (n-1)d

donde d es la diferencia constante entre cada dos términos.

Si es geométrica es

an = a1·r^(n-1)

donde r es la razón contante.  Es el valor que hace a1·r= a2, o sea, r =a2/a1

Otros casos habría que estudiarlos uno a uno.

 

Y eso es todo, espero q

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Experto

Qué castigo, el caso que aún no he localizado que es lo que hace que se manden respuestas sin querer. Pienso que tenga que ver con la tecla tabulador.

Decía que eso es todo, que espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo

Usuario

Muchas gracias de nuevo