Cálculo términos enésimos
Te planteo 3 problemas sobre el asunto:
1.- Término enésimo de la sucesión: 0/7, 3/14, 8/21, 15/28 (el denominador entiendo que será 7n pero me atasco en el numerador).
2.- Una ciudad genera 400 tm de residuos. Se aplica un plan para reducirlo a sus 3/4 partes cada año. ¿Cuánto se producirá el año n? (¿Puede ser: 400-((3/4*400(n-1))?
3.- Miguel consigue 3 cromos la 1ª semana y cada semana siguiente 1 más que la anterior y Lucía consigue 1 cromo la 1ª semana y cada semana siguiente el doble de la anterior. ¿Quién conseguirá más la semana 13? ¿y la n?.
Ya por último, ¿hay alguna fórmula que permite el cálculo del término enésimo?
Muchísimas gracias por tu ayuda, aunque la verdadera beneficiaria será mi hija, estudiante de 2º ESO.
2 Respuestas
1.- El denominador si, es 7n, porque lo normal es llamar 1 al primer término, aunqueue en algunos casos se llama cero. El numerador tiene toda la pinta, y de hecho es, la sucesión de cuadrados menos una unidad
0=1-1
3=4-1
8=9-1
15=16-1
Luego el termino general es:
ai = [(i^2)-1] / (3i)
Léase ai como a sub i
2.- Aquí es muy importante la precisión en el lenguaje. El problema dice:
Se aplica un plan para reducirlo a sus 3/4 partes cada año.
Eso significa que si un año es x, al año siguiente sea (3/4) de x = 3x/4
No nos han dicho reducirlo en 3/4 partes cada año. Eso sería que al año siguiente sería x-3x/4 = x/4
Entonces se produciá x, se quiere q
Perdona, han puesto alguna combinación de teclas fácil de pulsar que manda la pregunta sin querer, ya me ha pasado varias veces. Continúo con el problema. Espera.
Entonces, si se producía x se quiere que en el primer año se produzcan 3x/4.
Que en e el segundo sean (3/4) de 3x/4 = (3/4)(3/4)x = x(3/4)^2
Que en el tercero sean (3/4) de x(3/4)^2 = x(3/4)^3
La única ambiguedad esta en si llamamos año cero o año uno al primero.
Si lo llamamos año cero, la producción de residuos en el año n es
residuos = 400(3/4)^(n+1)
Si lo llamamos año uno, es:
residuos = 400(3/4)^n
3.- Miguel consigue 3 cromos la 1ª semana y cada semana siguiente 1 más que
la anterior y Lucía consigue 1 cromo la 1ª semana y cada semana
siguiente el doble de la anterior. ¿Quién conseguirá más la semana 13?
¿y la n?.
La sucesión de cromos conseguidos cada semana de MIguel es
3, 4, 5, 6,...
La de Lucía es
1, 2, 4, 8, 16
Está claro que Lucia conseguirá más cromos la semana 13, ya en la cuarta consigue más su progresión es geométrica mientras que la de Miguel es aritmética.
En concreto:
Miguel conseguirá 13 cromos
Lucia 2^12 = 4096
En la semana n
Miguel consigue n cromos
Lucía 2^(n-1) cromos
Y a veíamos de acuerdo a los números de arriba que MIguel consigue más si n=1,2 o 3
Si n >= 4 es Lucía la que consigue más cromos.
Calcular el término enésimo o general depende de cuál sea la sucesión del problema.
Si es aritmética el término general
an = a1 + (n-1)d
Donde d es la diferencia constante entre cada dos términos.
Si es geométrica es
an = a1·r^(n-1)
donde r es la razón contante. Es el valor que hace a1·r= a2, o sea, r =a2/a1
Otros casos habría que estudiarlos uno a uno.
Y eso es todo.
Qué castigo, el caso que aún no he localizado que es lo que hace que se manden respuestas sin querer. Pienso que tenga que ver con la tecla tabulador.
Decía que eso es todo, que espero que te sirva y lo hayas entendido.
1- En cuanto al primero tras probar, es: (n^2)-1, n al cuadrado menos 1
2-
Hay ambigüedad, puede ser que cada año se reduce 3/4 partes de 400, o que cada año se reduce 3/4 de la contaminación de ese año. En el primer caso, a los 4 años la serie no tendría sentido ya que la contaminación valdría 0 y en adelante negativo.
Según el segundo caso la expresión puede ser:
n=1 400-(1/4)(400)=300
n=2 (400-(1/4)(400))-(1/4)(400-(1/4)(400)) =300-(1/4) (300) = 225
n=3 225-(1/4)(225)
n=n 400-(/)400 y la división me da para n=1 (1/4) , n=2 (-3/8) , n=3 (-17/32)
Solo tendríamos que resolver esa serie: 1/4, -3/8, -17/32
Cuando lo tenga te lo envío. :)
3-
La relación de miguel es n+2
La relación de Lucía es 3(2^n) tres por (dos elevado a n) esto se cumple a partir de la 3º semana, lo cual nos vale para la resolución del problema.
Si sustituyes 13 en ambos te da: Miguel = 15 y Lucía = 3*(2^13) = 24576.
Consigue mucho más Lucía.
- No creo que haya una fórmula maestra, es más la práctica y conocer algunas como: los números pares: 2n, los impares 2n-1 ... yo creo que el truco es ver como es la variación de un término y los siguientes, si es lineal será algo con N... como 2 4 6 8 10... o si es exponencial como el de Lucía.. serán algo de la forma K^N