Un bombo lleno de bolas y colores...
Saludos a todos,
Escribí en el foro pero no he encontrado una solución a esto, me gustaría que respondiera alguien que domine el tema o que lo tenga muy claro. Saludos.
Quería conocer la fórmula que me dé la solución a éste problema:
De un bombo tengo que extraer "x" bolas y existen "y" colores posibles para esas bolas. Se trata de conocer cuántas combinaciones posibles existen para éstos ejemplos:
Ejemplo 1:
x = 3 bolas
y = 5 colores
Ejemplo 2:
x = 6 bolas
y = 40 colores
Ejemplo 3:
x = 8 bolas
y = 40 colores
Por favor me tenéis que dar una fórmula sencillita, sino no la voy a entender.
Gracias.
Escribí en el foro pero no he encontrado una solución a esto, me gustaría que respondiera alguien que domine el tema o que lo tenga muy claro. Saludos.
Quería conocer la fórmula que me dé la solución a éste problema:
De un bombo tengo que extraer "x" bolas y existen "y" colores posibles para esas bolas. Se trata de conocer cuántas combinaciones posibles existen para éstos ejemplos:
Ejemplo 1:
x = 3 bolas
y = 5 colores
Ejemplo 2:
x = 6 bolas
y = 40 colores
Ejemplo 3:
x = 8 bolas
y = 40 colores
Por favor me tenéis que dar una fórmula sencillita, sino no la voy a entender.
Gracias.
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Al tener siempre más colores que bolas, lo que tienes son combinaciones con repetición de y elementos tomados de por en x.
En tal caso, la fórmula es
CRx,y =Cx,x+y-1
Es decir, combinaciones de x+y-1 elementos tomados de x en x
Sólo recuerda que para hacer combinaciones ordinarias, las combinaciones de n elementos tomados de m en m se hace
Cm,n=n!/[m!*(n-m)!]
siendo
n!=n*(n-1)*(n-2)* ...*3*2*1-->factorial
Comprobemos primero con un ejemplo que es cierto:
Tenemos que sacar dos bolas de una bolsa donde existen 3 colores (Rojo, Verde y Azul).
Las posibilidades son
RR, VV, AA
RV, RA, VA
Es decir 6 posibilidades.
Según la fórmula
CR2,3=C2,4=4!/[2!*2!]=4*3*2/[2*2]=6, como antes
Veamos los ejemplos
1º 3 bolas y 5 colores
CR3,5=C3,7=7!/[3!*4!]=7*6*5*4!/[3*2*4!]=7*6*5/6=35
2º 6 bolas y 40 colores
CR6,40=C6,45=45!/[6!*39!]=45*44*43*42*41*40*39!/[6*5*4*3*2*39!]=8145060
3º 8 bolas y 40 colores
CR8,40=C8,47=47!/[8!*39!]=47*46*45*44*43*42*41*40*39!/[8*7*6*5*4*3*2*39!]=314457495
Puedes ampliar en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/comb_rept.htm#En%20general
En tal caso, la fórmula es
CRx,y =Cx,x+y-1
Es decir, combinaciones de x+y-1 elementos tomados de x en x
Sólo recuerda que para hacer combinaciones ordinarias, las combinaciones de n elementos tomados de m en m se hace
Cm,n=n!/[m!*(n-m)!]
siendo
n!=n*(n-1)*(n-2)* ...*3*2*1-->factorial
Comprobemos primero con un ejemplo que es cierto:
Tenemos que sacar dos bolas de una bolsa donde existen 3 colores (Rojo, Verde y Azul).
Las posibilidades son
RR, VV, AA
RV, RA, VA
Es decir 6 posibilidades.
Según la fórmula
CR2,3=C2,4=4!/[2!*2!]=4*3*2/[2*2]=6, como antes
Veamos los ejemplos
1º 3 bolas y 5 colores
CR3,5=C3,7=7!/[3!*4!]=7*6*5*4!/[3*2*4!]=7*6*5/6=35
2º 6 bolas y 40 colores
CR6,40=C6,45=45!/[6!*39!]=45*44*43*42*41*40*39!/[6*5*4*3*2*39!]=8145060
3º 8 bolas y 40 colores
CR8,40=C8,47=47!/[8!*39!]=47*46*45*44*43*42*41*40*39!/[8*7*6*5*4*3*2*39!]=314457495
Puedes ampliar en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/comb_rept.htm#En%20general
Gracias por tu respuesta. Sobretodo la he podido entender al haber desarrollado los ejemplos.
Lo que pasa es que lo que busco son las combinaciones posibles considerando también el orden en el que se extraen esas bolas. En el ejemplo que tu pones, sacar dos bolas de una bolsa donde existen 3 colores (Rojo, Verde y Azul). Tendríamos estas combinaciones:
RR, RV, RA
VR, VV, VA
AR, AV, AA
En total 9 combinaciones.
Porque si fuesen cifras en lugar de colores, no sería lo mismo la combinación 1,2 (que es 12) que la combinación 2,1 (que es 21)
Si conoces otra fórmula para el caso que busco te lo agradezco. Yo pensé que la solución a lo mío era, en el Ejemplo 3, 40 elevado a 8. Pero no sé si será correcto.
Te agradezco tu aclaración. Recibe un saludo.
amanciomail
Lo que pasa es que lo que busco son las combinaciones posibles considerando también el orden en el que se extraen esas bolas. En el ejemplo que tu pones, sacar dos bolas de una bolsa donde existen 3 colores (Rojo, Verde y Azul). Tendríamos estas combinaciones:
RR, RV, RA
VR, VV, VA
AR, AV, AA
En total 9 combinaciones.
Porque si fuesen cifras en lugar de colores, no sería lo mismo la combinación 1,2 (que es 12) que la combinación 2,1 (que es 21)
Si conoces otra fórmula para el caso que busco te lo agradezco. Yo pensé que la solución a lo mío era, en el Ejemplo 3, 40 elevado a 8. Pero no sé si será correcto.
Te agradezco tu aclaración. Recibe un saludo.
amanciomail
Pues sí tienes razón en tus conclusiones, aunque en tal caso no se llaman combinaciones, sino variaciones.
Aclaremos un poco ésto:
En combinatoria se pueden hacer dos grandes grupos diferentes:
1º Variaciones: importa el orden en el que se escojan los elementos.
Ej: hacer números diferentes de dos cifras con los números 1,2,3
12 no es el mismo número que 21-->importa el orden
2º Combinaciones: no importa el orden en el que se escojan
Ej: hacer parejas con las personas Mikel, Anna Kournikova y Cameron Días
La pareja formada por Mikel y Kournikova es la misma que la formada por Kournikova y Mikel--> no importa el orden
A parte de eso, tanto en un caso como en el otro, pueden ser variaciones y combinaciones ordinarias, o con repetición.
Las permutaciones son un caso particular de variaciones, donde en cada grupo entran todos los elementos.
En tu caso, al importarte el orden de salida, son variaciones, y como se pueden repetir los colores, son variaciones con repetición.
La fórmula que nos da las variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m, es
VRm,n=n^m
Por eso, en el caso de los colores Rojo, Verde y Azul, y sacamos dos bolas, son variaciones con repetición de 3 elementos tomadaos de dos en dos
VR2,3=3^2=9 como has sacado examinando todas las posibilidades
Resolviendo ahora los ejemplos
1º 3 bolas y 5 colores
VR3,5=5^3=125
2º 6 bolas y 40 colores
VR6,40=40^6=4096000000
3º 8 bolas y 40 colores
VR8,40=40^8=6553600000000
Como ves, al importar el orden el número de posibilidades se incrementa mucho.
Echale un vistazo a esta dirección. Explica todos los casos de la combinatoria con sus fórmulas y hasta hace los cálculos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/ed99-0516-02.html
Aclaremos un poco ésto:
En combinatoria se pueden hacer dos grandes grupos diferentes:
1º Variaciones: importa el orden en el que se escojan los elementos.
Ej: hacer números diferentes de dos cifras con los números 1,2,3
12 no es el mismo número que 21-->importa el orden
2º Combinaciones: no importa el orden en el que se escojan
Ej: hacer parejas con las personas Mikel, Anna Kournikova y Cameron Días
La pareja formada por Mikel y Kournikova es la misma que la formada por Kournikova y Mikel--> no importa el orden
A parte de eso, tanto en un caso como en el otro, pueden ser variaciones y combinaciones ordinarias, o con repetición.
Las permutaciones son un caso particular de variaciones, donde en cada grupo entran todos los elementos.
En tu caso, al importarte el orden de salida, son variaciones, y como se pueden repetir los colores, son variaciones con repetición.
La fórmula que nos da las variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m, es
VRm,n=n^m
Por eso, en el caso de los colores Rojo, Verde y Azul, y sacamos dos bolas, son variaciones con repetición de 3 elementos tomadaos de dos en dos
VR2,3=3^2=9 como has sacado examinando todas las posibilidades
Resolviendo ahora los ejemplos
1º 3 bolas y 5 colores
VR3,5=5^3=125
2º 6 bolas y 40 colores
VR6,40=40^6=4096000000
3º 8 bolas y 40 colores
VR8,40=40^8=6553600000000
Como ves, al importar el orden el número de posibilidades se incrementa mucho.
Echale un vistazo a esta dirección. Explica todos los casos de la combinatoria con sus fórmulas y hasta hace los cálculos:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/ed99-0516-02.html
