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1º x*y'=y
siendo y'=dy/dx
x*(dy/dx)=y
x*dy=y*dx
dy/y=dx/x
Integrando
Int[dy/y]=Int[dx/x]
Lny=Lnx + cte
poniendo cte=LnC -->
Lny=Lnx+LnC=Ln(C*x)
Quitando logaritmos
y=C*x
Comprobación
y'=C
x*y'=x*C=C*x=y
2º (4xy^2+3y)dx+(3x^2+2x)dy = 0
Para que una ecuación de la forma
M*dx+N*dy=0
sea exacta ha de cumplirse que
DM/Dy=DN/Dx-->Derivadas parciales
En nuestro caso
M=4x*y^2+3*y
DM/Dy=8*x*y+3
N=3*x^2+2*x
DN/Dy=6*x+2
No son iguales con lo cual no es exacta.
Un factor integrante es una función que depende de x e y, tal que al multiplicar la ecuación por ella la convertimos en exacta.
El problema es que no hay un método claro para saber cómo es esa función a no ser que sea sencilla, como que sólo dependa de x, sólo de y, solo de x+y, solo de x*y...
Lo cierto es que no he encontrado un factor fácil para esta ecuación aunque si la ecuación fuera
(4xy^2+3y)dx+(3x^2*y+2x)dy = 0
tiene un factor fácil x^2*y
x^2*y*[(4xy^2+3y)dx+(3x^2*y+2x)dy] = 0
(4*x^3*y^3+3*x^2*y^2)*dx+(3*x^4*y^2+2*x^3*y)=0
En tal caso
M=4*x^3*y^3+3*x^2*y^2
DM/Dy=12*x^3*y^2+6*x^2*y
N=3*x^4*y^2+2*x^3*y
DN/dx=12*x^3*y^2+6*x^2*y
Y en tal caso sí sería exacta.
Mira a ver si había alguna errata en la ecuación o seguimos buscando.
3º La verdad es que no sé muy bien a qué llamas prueba de separabilidad.
Supongo que querrás decir que la ecuación
dF=DF/Dx * dx + DF/Dy * dy =0
nos queda de variables separadas.
Si es así
F(x,y)=x^2+xy+y^2
DF/Dx=2*x+y
DF/Dy=x+2y
Luego nos queda
(2x+y)dx + (2y+x)dy=0
Y no es de variables separadas, pues éstas tienen la forma
f(x)g(y)dx + h(x)j(y) dy =0
Espero que te sirva
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