Función no diferenciable en un punto.

La derivadas parciales son

$$\begin{align}&D_1f(0,0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{\frac{3h^20^2}{h^4+0^4}-0}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h^5}=0\end{align}$$

La derivada parcial respecto a y la puedes calcular tú es exactamente la misma ya que las variables x e y hacen papeles intercambiables en la función.

Luego las derivadas parciales existen y son 0.

Una función de R2 en R es diferenciable en un punto si existe un plano tangente que se aproxima a la función indefinidamente en el punto. Formulado con rigor es:

f(x, y) es diferenciable en el p=(xo, yo) si existen unos números A y B tales que

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-(f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0))}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$$

f(xo,yo)+A(x-xo)+B(y,yo) = 0

Es la ecuación del plano tangente.

Además hay un teorema que dice que si f es diferenciable entonces A es la parcial de f respecto a x en (xo, yo) y B es la parcial respecto a y de f en (xo, yo)

Luego en nuestra función el el punto (0,0) tenemos que A=0 y B=0 como hemos calculado antes, entonces f será diferenciable en (0,0) si

$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-(f(0,0)+0(x-0)+0(y-0))}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}=0\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{3x^2y^2}{x^4+y^4}-0}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y^2}{(x^4+y^4)\sqrt{x^2+y^2}}\\ &\\ &\\ &\text{hallemos el límite por el camino x=y}\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{3x^4}{2x^4 \sqrt{2x^2}}=\frac 3{2 \sqrt 2}\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}= \infty\\ &\\ &\end{align}$$

Luego el límite no es 0 ya que ni siquiera existe y por lo tanto la función nbo es diferenciable en (0,0)

Y eso es todo.