Varios ejercicios de Logaritmos
Quería saber si usted me podría ayudar a resolver los siguientes ejercicios de loagaritmos por lo cual tengo que dar en examen de logaritmos y tengo algunos ejercicios que tengo duda por lo cual quería saber si usted me podría ayudar a resolver los siguientes ejercicios:
1)logXog(X+9)=1
2)logX -log(X+3)=-1
3)log4^(x+3)+ log4^(x-3)=2
4)log5^RAIZ DE X^2+1=1
¿Cuántos años tardara una inversión de $1000 en duplicarse cuando se invierte con un interés compuesto al 6% anual?
¿Calcular la intensidad en decibeles del sonido de una lavaplatos que tiene una intensidad de 250000 veces Io.
¿El terremoto ocurrido en los Angeles en 1971tuvo una intensidad de 5*10^6 veces Io ¿Cuál fue la magnitud en la escala de Richter?
8)log raiz de X= Raiz logX
9) En 1960 la población de dallas era aproximadamente de 680000 habitantes.
En 1980 era de 905000. Encuentra que en la fórmula de crecimiento y haz una estimación de la población que tendrá dicha ciudad en el año 2000.
10) El indice de precios al consumidor compara el costo de diversos bienes y servicios durante varios años. El año base es el de 1967. Los mismos bienes y servicios que costaban $100 en 1967 cuestan $325 en 1986. Suponiendo el modelo exponencial:
a) Encuentre el valor que y escribe la ecuación
b)estima cuanto costaran los mismos bienes y servicios en el año 2000.
c)Determina cuando los mismos bienes y servicios costaran 5 veceslo que en 1967.
Bueno por su atención muchas gracias, le agradecería un montón si me respondiera estas preguntas de logaritmos por lo cual tengo muchas dudas.
1)logXog(X+9)=1
2)logX -log(X+3)=-1
3)log4^(x+3)+ log4^(x-3)=2
4)log5^RAIZ DE X^2+1=1
¿Cuántos años tardara una inversión de $1000 en duplicarse cuando se invierte con un interés compuesto al 6% anual?
¿Calcular la intensidad en decibeles del sonido de una lavaplatos que tiene una intensidad de 250000 veces Io.
¿El terremoto ocurrido en los Angeles en 1971tuvo una intensidad de 5*10^6 veces Io ¿Cuál fue la magnitud en la escala de Richter?
8)log raiz de X= Raiz logX
9) En 1960 la población de dallas era aproximadamente de 680000 habitantes.
En 1980 era de 905000. Encuentra que en la fórmula de crecimiento y haz una estimación de la población que tendrá dicha ciudad en el año 2000.
10) El indice de precios al consumidor compara el costo de diversos bienes y servicios durante varios años. El año base es el de 1967. Los mismos bienes y servicios que costaban $100 en 1967 cuestan $325 en 1986. Suponiendo el modelo exponencial:
a) Encuentre el valor que y escribe la ecuación
b)estima cuanto costaran los mismos bienes y servicios en el año 2000.
c)Determina cuando los mismos bienes y servicios costaran 5 veceslo que en 1967.
Bueno por su atención muchas gracias, le agradecería un montón si me respondiera estas preguntas de logaritmos por lo cual tengo muchas dudas.
1 Respuesta
Respuesta
1
1) No entiendo lo que pone
2)logX -log(X+3)=-1
=> log (X/(X+3))= -1
Como no lo dices, supondré que los logaritmos son en base 10:
=> X/(X+3) = 10^(-1)
10X = X+3 => 9X = 3 => X = 3
Parece que sí son en base 10.
3)log4^(x+3)+ log4^(x-3)=2
=> log[4^(x+3)·4^(x-3)]=2
(El · punto es la multiplicación)
=> log[4^(x+3+x-3)] = 2
=> log(4^2x) = 2
=> 2x log(4) = 2
=> x = 1/log(4)
4)log[5^RAIZ(X^2+1)]=1
=> RAIZ(X^2+1)log(5) = 1
=> RAIZ(X^2+1)=1/log(5)
(elevando todo al cuadrado)
=> X^2 + 1= 1/(log(5))^2
=> X^2 = 1/(log(5))^2 - 1
=> X = RAIZ [1/(log(5))^2 - 1]
5) ¿Cuántos años tardara una inversión de $1000 en duplicarse cuando se invierte con un interés compuesto al 6% anual?
El interés compuesto significa que el capital se acumula, entonces, pasados por años, el capital c será:
c = $1000·1.06^x
Por ejemplo, si x=0, c=$1000, el capital inicial.
Lo que nos piden es resolver lo siguiente:
2000 =1000·1.06^x
=>1000=1.06^x => log 1000 = x log(1.06) => x = 3/log(1.06) = 118.55 años aproximadamente.
6) ¿Calcular la intensidad en decibeles del sonido de una lavaplatos que tiene una intensidad de 250000 veces Io.
Un belio o bel, como se quiera, es una unidad adimensional (no tiene unidades como la longitud, la fuerza, la energía), y x bel = 10^x, o sea 2 bel = 10·10=100, 3 bel =10·10·10=1000, y ¿Mil qué? Podrías decir: mil nada porque es adimensional. Entonces, un decibelio (dB) o decibel es la décima parte de un bel, igual que un decímetro es la décima parte de un metro. Por tanto, x dB = (10^x)/ 10. Aplicando el logaritmo en base 10:
=> 10·log x dB = x·log10=x
x = 10·log(x) dB
---> Luego por es igual a 10 por el logaritmo de por decibelios.
¿Qué por expresamos en decibelios? Normalmente razones entre dos magnitudes, donde el denominador se toma como referencia. De forma que, en este caso hacemos una razón (una división) entre dos intensidades y así:
I = 10·log(I1/I0) dB
Donde I0 es la de referencia, e I1 una intensidad, e I es la intensidad I1 expresada en decibeles respecto de I0. Nos están diciendo que I1/I0 = 250000, porque I1=250000I0, de forma que
I = 10·log(250000) dB = 53.98 dB aprox.
7) ¿El terremoto ocurrido en los Angeles en 1971tuvo una intensidad de 5*10^6 veces Io ¿Cuál fue la magnitud en la escala de Richter?
La escala Richter se mide en beles, es decir:
R = log (I1/I0) B
Entonces R = log (5·10^6I0/I0) B = log(5·10^6) = log(5)+6 B = 6.70 B aproximadamente.
Pero no se dice nunca que son beles, se dice símplemente 6.70 en la escala de Richter.
8)log raiz de X= Raiz logX
log(raiz(X))=raiz(log(X))
Se sabe que raiz(X) = X^(1/2)
Entonces: log(raiz(X)) = log (X^(1/2)) = (1/2)·log(X)
Supongo que se trata de encontrar la X, ¿no?
raiz(log(X)) = (1/2)·log(X)
Se despeja log(X):
(log(X))^(1/2) = (1/2)·log(X)
=> 1 = (1/2)·log(X)/(log(X))^(1/2) => 2 = log(X)^(1/2)
=> log(X) = 4 => X = 10^4
9) En 1960 la población de Dallas era aproximadamente de 680000 habitantes.
En 1980 era de 905000. Encuentra que en la fórmula de crecimiento y haz una estimación de la población que tendrá dicha ciudad en el año 2000.
La fórmula general, si que se refiere a la tasa de crecimiento anual, es:
h = h0·(1+k/100)^t
h: Habitantes en t años
H0: habitantes en el año base.
t: Tiempo en años desde el año base
k: Tasa de crecimiento anual (en tanto por cien)
El año base en nuestro caso es 1960.
Nos dicen que:
905000 = 680000·(1+k/100)^20
=> 905/680 = (1+k/100)^20
=> log(905/680)= 20·(log(100+k)-2)
=> log(100+k)=log(905/680)/20 + 2
=> 100+k = 101.439 => k = 1.439
Para el año 2000 ==> t =2000-1960 = 40
h = 680000·(1+1.439/100)^40 =
1,204,224 habitantes
10) El indice de precios al consumidor compara el costo de diversos bienes y servicios durante varios años. El año base es el de 1967. Los mismos bienes y servicios que costaban $100 en 1967 cuestan $325 en 1986. Suponiendo el modelo exponencial:
a) Encuentre el valor k y escribe la ecuación
La ecuación de la variación de los costes es:
c = c0(1+k/100)^t
c: Coste después de t años
C0: coste en el año base (1967)
k: Tasa anual de crecimiento de los precios en tanto por cien
t: Años transcurridos desde el año base (desde 1967 en nuestro caso)
Nos indican que:
325 = 100·(1+k/100)^19
(1986-1967=19)
=> 325/100 = (1+k/100)^19
=> log(325/100) = 19 log(1+k/100) = 19 log ((100+k)/100) = 19 (log(100+k)-2)
=> log(100+k) = log(325/100)/19 + 2 = 2.0269
=> 100+k = 10^2.0269 = 106.4
=> k = 6.40
b)estima cuanto costaran los mismos bienes y servicios en el año 2000.
t= 2000-1967 = 33 años
c = 100(1+6.4/100)^33 = $774.6 aprox.
c)Determina cuando los mismos bienes y servicios costaran 5 veceslo que en 1967.
500 = 100(1+6.4/100)^t
500/100 = 5 = (1+6.4/100)^t
=> (tomando logaritmos)
=> log(5) = t* log(1+6.4/100)
=> t = 25.94 años = 26 años aprox.
Luego esto se producirá en 1967+26 = 1993
2)logX -log(X+3)=-1
=> log (X/(X+3))= -1
Como no lo dices, supondré que los logaritmos son en base 10:
=> X/(X+3) = 10^(-1)
10X = X+3 => 9X = 3 => X = 3
Parece que sí son en base 10.
3)log4^(x+3)+ log4^(x-3)=2
=> log[4^(x+3)·4^(x-3)]=2
(El · punto es la multiplicación)
=> log[4^(x+3+x-3)] = 2
=> log(4^2x) = 2
=> 2x log(4) = 2
=> x = 1/log(4)
4)log[5^RAIZ(X^2+1)]=1
=> RAIZ(X^2+1)log(5) = 1
=> RAIZ(X^2+1)=1/log(5)
(elevando todo al cuadrado)
=> X^2 + 1= 1/(log(5))^2
=> X^2 = 1/(log(5))^2 - 1
=> X = RAIZ [1/(log(5))^2 - 1]
5) ¿Cuántos años tardara una inversión de $1000 en duplicarse cuando se invierte con un interés compuesto al 6% anual?
El interés compuesto significa que el capital se acumula, entonces, pasados por años, el capital c será:
c = $1000·1.06^x
Por ejemplo, si x=0, c=$1000, el capital inicial.
Lo que nos piden es resolver lo siguiente:
2000 =1000·1.06^x
=>1000=1.06^x => log 1000 = x log(1.06) => x = 3/log(1.06) = 118.55 años aproximadamente.
6) ¿Calcular la intensidad en decibeles del sonido de una lavaplatos que tiene una intensidad de 250000 veces Io.
Un belio o bel, como se quiera, es una unidad adimensional (no tiene unidades como la longitud, la fuerza, la energía), y x bel = 10^x, o sea 2 bel = 10·10=100, 3 bel =10·10·10=1000, y ¿Mil qué? Podrías decir: mil nada porque es adimensional. Entonces, un decibelio (dB) o decibel es la décima parte de un bel, igual que un decímetro es la décima parte de un metro. Por tanto, x dB = (10^x)/ 10. Aplicando el logaritmo en base 10:
=> 10·log x dB = x·log10=x
x = 10·log(x) dB
---> Luego por es igual a 10 por el logaritmo de por decibelios.
¿Qué por expresamos en decibelios? Normalmente razones entre dos magnitudes, donde el denominador se toma como referencia. De forma que, en este caso hacemos una razón (una división) entre dos intensidades y así:
I = 10·log(I1/I0) dB
Donde I0 es la de referencia, e I1 una intensidad, e I es la intensidad I1 expresada en decibeles respecto de I0. Nos están diciendo que I1/I0 = 250000, porque I1=250000I0, de forma que
I = 10·log(250000) dB = 53.98 dB aprox.
7) ¿El terremoto ocurrido en los Angeles en 1971tuvo una intensidad de 5*10^6 veces Io ¿Cuál fue la magnitud en la escala de Richter?
La escala Richter se mide en beles, es decir:
R = log (I1/I0) B
Entonces R = log (5·10^6I0/I0) B = log(5·10^6) = log(5)+6 B = 6.70 B aproximadamente.
Pero no se dice nunca que son beles, se dice símplemente 6.70 en la escala de Richter.
8)log raiz de X= Raiz logX
log(raiz(X))=raiz(log(X))
Se sabe que raiz(X) = X^(1/2)
Entonces: log(raiz(X)) = log (X^(1/2)) = (1/2)·log(X)
Supongo que se trata de encontrar la X, ¿no?
raiz(log(X)) = (1/2)·log(X)
Se despeja log(X):
(log(X))^(1/2) = (1/2)·log(X)
=> 1 = (1/2)·log(X)/(log(X))^(1/2) => 2 = log(X)^(1/2)
=> log(X) = 4 => X = 10^4
9) En 1960 la población de Dallas era aproximadamente de 680000 habitantes.
En 1980 era de 905000. Encuentra que en la fórmula de crecimiento y haz una estimación de la población que tendrá dicha ciudad en el año 2000.
La fórmula general, si que se refiere a la tasa de crecimiento anual, es:
h = h0·(1+k/100)^t
h: Habitantes en t años
H0: habitantes en el año base.
t: Tiempo en años desde el año base
k: Tasa de crecimiento anual (en tanto por cien)
El año base en nuestro caso es 1960.
Nos dicen que:
905000 = 680000·(1+k/100)^20
=> 905/680 = (1+k/100)^20
=> log(905/680)= 20·(log(100+k)-2)
=> log(100+k)=log(905/680)/20 + 2
=> 100+k = 101.439 => k = 1.439
Para el año 2000 ==> t =2000-1960 = 40
h = 680000·(1+1.439/100)^40 =
1,204,224 habitantes
10) El indice de precios al consumidor compara el costo de diversos bienes y servicios durante varios años. El año base es el de 1967. Los mismos bienes y servicios que costaban $100 en 1967 cuestan $325 en 1986. Suponiendo el modelo exponencial:
a) Encuentre el valor k y escribe la ecuación
La ecuación de la variación de los costes es:
c = c0(1+k/100)^t
c: Coste después de t años
C0: coste en el año base (1967)
k: Tasa anual de crecimiento de los precios en tanto por cien
t: Años transcurridos desde el año base (desde 1967 en nuestro caso)
Nos indican que:
325 = 100·(1+k/100)^19
(1986-1967=19)
=> 325/100 = (1+k/100)^19
=> log(325/100) = 19 log(1+k/100) = 19 log ((100+k)/100) = 19 (log(100+k)-2)
=> log(100+k) = log(325/100)/19 + 2 = 2.0269
=> 100+k = 10^2.0269 = 106.4
=> k = 6.40
b)estima cuanto costaran los mismos bienes y servicios en el año 2000.
t= 2000-1967 = 33 años
c = 100(1+6.4/100)^33 = $774.6 aprox.
c)Determina cuando los mismos bienes y servicios costaran 5 veceslo que en 1967.
500 = 100(1+6.4/100)^t
500/100 = 5 = (1+6.4/100)^t
=> (tomando logaritmos)
=> log(5) = t* log(1+6.4/100)
=> t = 25.94 años = 26 años aprox.
Luego esto se producirá en 1967+26 = 1993