Necesito resolver sucesiones

Respuesta de
mikel1970
a
Usuario
{Cn}= {-1/2,0,1/4,2/5,1/2} n E Z+

{Dn}= {1/2,-1/24,1/720,-1/40320}n E Z+
Experto
La segunda sucesión se resuelve muy fácil, pero la primera serie ha costado lo suyo, aunque una vez descubierta es muy sencilla.
La mayor parte de los problemas de este tipo consisten en sumar o multiplicar cada término por un número que suele ser o constante (en cuyo caso es una progresión), o seguir una relación de recurrencia fácil.
Veamos qué trucos has de emplear para resolver estos problemas

2º 1/2,-1/24,1/720,-1/40320

Lo primero es ver que el signo alterna. Este tipo de alternancias obedecen siempre al factor

(-1)^n si empieza negativo
(-1)^(n+1) si empieza positivo, como en nuestro caso

Si nos fijamos en los números de abajo

2,24,720,40320

Vemos que crecen muy rápido. Esto indica que la sucesión es exponencial o factorial.
Veamos que ocurre dividiendo cada número entre el anterior

24=2=12
720/24=30
40320/720=56

Probando un poco comprobamos que

12=3*4
30=5*6
56=7*8

O sea que la sucesión es

n=1-->2(2*1)!
n=2-->24=2*3*4=(2*2)!
n=3-->720=2*3*4*5*6=(2*3)!
n=4-->40320=2*3*4*5*6*7*8=(2*4)!

n--->(2*n)!

Así pues la sucesión es

dn=(-1)^(n+1)*1/(2*n)!

1º Las sucesiones con fracciones a veces son complicadas de ver, pues la fracción de los términos está simplificada.
En este caso al haber un 0, no parece que sigan reglas de multiplicación, sino de suma.
Después de probar algunas cosas me he dado cuenta que

-1/2=-2/4
0=0/6
1/4=2/8
2/5=4/10
1/2=6/12

con lo que nos queda

-2/4,0/6,2/8,4/10,6/12

Obviamente arriba y abajo se siguen progresiones aritméticas, cuyo término general sale

an=a1+(n-1)*d

En este caso la distancia d es d=2 para ambas progresiones, luego

an=-2+(n-1)*2=-2+2*n-2=2*n-4
bn=4+(n-1)*2=4+2*n-2=2*n+2

Luego la sucesión es

cn=(2*n-4)/(2*n+2)
Experto
..
n=1-->2=(2*1)!
n=2-->24=2*3*4=(2*2)!
n=3-->720=2*3*4*5*6=(2*3)!
n=4-->40320=2*3*4*5*6*7*8=(2*4)!
Experto
Después de ver la extraordinaria respuesta dada por el experto Pab1, aún me siguen impresionando más las matemáticas por el hecho de que a veces hacemos fácil lo difícil.
"Mea culpa" es no haberme dado cuenta de qué fácil era la primera sucesión, pero tardé un tiempo en hallar la respuesta y luego ni siquiera la simplifiqué cunado había encontrado la solución que lo satisfacía:
Evidentemente:

cn=(2*n-4)/(2*n+2)=[2*(n-2)/(2*(n+1)]=(n-2)/(n+1)


Las matemáticas siempre son m´s fáciles de lo que imaginamos, pero a veces lo complicamos demasiado.
Experto
.. a veces hacemos fácil lo difícil.."

Quiere decir:

.. a veces hacemos difícil lo fácil.."
Usuario
Mikel,

Muchas gracias por tu ayuda,
me fue de gran utilidad.

De nuevo, muchas gracias!