Necesito saber como crearle un artificio para hacer este limite trigonométrico
lim (1+sen x)^(1/sen x) agradeceria mucho no puedo sacarlo
x>pi
escribe tu código aquí
2 respuestas
Muchos límites de potencias se resuelven tomando logaritmos. Como a todo el mundo te digo que usaré z en lugar de equis porque el corrector las cambia por "por"
Sea L = lim z-->pi de (1+senz)^(1/senz)
ln L = ln[lim z-->pi de (1+senz)^(1/senz)]
ln L = lim z-->pi de ln[(1+senz)^(1/senz)]
ln L = lim z-->pi de (1/senz)ln(1+senz) =lim z-->pi de ln(1+senz) / senz =
Los límites de la forma 0/0 se pueden resolver mediante la regla de l'Hôpital, siendo el cociente de las derivadas del numerador y denominador
= lim z-->pi de [cosz/(1+senz)]/ cosz = lim z-->pi de 1/(1+senz) = 1
resumiendo:
ln L = 1
L = e
Luego el límite es el número e.
Y además esta comprobado que es eso mediante la gráfica que he efectuado.
Hola ???valeroasm te agradezco mucho por el ejercicio... pero se supone que todavía no se l'Hôpital por lo que tengo que sacar la indeterminación de 1 elevado a infinito creando un artificio que lo elimine.. voy a tratar de implementar ln y veo que pasa de todos modos.. muchas gracias
Vale, hay una forma muchísimo más sencilla aún, no sé como no se me ocurrió antes.
Como sabes el número e se define así
e = lim n-->oo de (1+1/n)^n
Y en la práctica podemos sustituir n por otra sucesión o función que tienda a infinito y así podemos calcular límites de otras sucesiones o funciones
En nuestro caso basta con sustituir n por 1/senz
1/senz tiende a infinito cuando z-->PI pues es un límite del tipo 1/0
Luego podemos poner
e = lim z-->PI de ( 1+ 1/(1/senz))^(1/senz)
Y ahora no es cuestión más que operar el cociente de fracciones que tenemos en la base, si quieres ponemos los dos puntos como nos enseñaban en básica
1 : 1/senz = 1·senz / 1 = senz
con lo que queda
e = lim z-->PI de (1+senz)^(1/senz)
Que es justamente lo que nos pedían.
Complementando un poco:
Una posibilidad es hacer un cambio de variable:
y = sen(x)
Y sen(x) tiende a cero, cuando x tiende a pi.
Entonces el límite de (1+sen(x))^(1/sen(x)), cuando x tiende a pi, haciendo todas las sustituciones quedaría:
limite de (1+y)^(1/y), cuando y tiende a cero
Y el límite anterior es e.
Otra posibilidad, usando que w^z=e^(zlog(w)):
(1+sen(x))^(1/sen(x)) = e ^[(1/sen(x))log(1+sen(x)]=e^[log(1+sen(x) / sen(x)]
Ahora hacemos y =sen(x) que tiende a cero, cuando x tiende a pi
Haciendo todas las sustituciones, nos queda:
Limite cuando y tiende a cero de:
e^[log(1+y) / y]
Como la exponencial es continua y el limite, cuando y tiende a cero, de log(1+y) / y es uno, entonces el límite anterior es: e
Ahora, que límite, cuando y tiende a cero de log(1+y)/y, es 1, resulta por que nuevamente nos queda:
log(1+y) / y = (1/y) log(1+y) = log{[1+y]^(1/y)} (propiedades del logaritmo)
Y si y tiende a cero, nos queda log(e) = 1
Si no han visto que ese límite es e, me avisas y ponemos la demostración.