Ejercicios sobre límites

Buen día experto,necesito ayuda con tres ejercicios sobre límites.Ayer estuve resolviendo este tipo de ejercicios solo con artificios matemáticos(es lo pedido), de los 22 me faltan estos 3
En la primera tiene una estructura que me parece familiar con otros que ya he resuelto,pero lo he intentado y aún no consigo resolverlo,la respuesta aplicando L'Hospital's rule debe de resultar m*[e^(a*m)],pero eso solo me ayuda a saber la respuesta,porque debo resolverlo solo con artificios matemáticos y límites básicos conocidos.
En la segunda, se ve extraño, porque no hay variable x en la función, así que el límite debe ser la misma expresión, aunque tiene una forma muy apetitosa para trabajar con 'e'
En la tercera si sustituyo la aproximación, resulta inf^n , lo que podría ser inf, pero dependería del valor de n, así que es incierto...


Espero su pronta respuesta. Gracias

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Respuesta de

Hola Misfit!

El primero lo veo muy difícil. Si no se puede aplicar ni la regla de l'Hôpital ni la formula de Taylor no sé que se puede hacer. Supongo q

ue los límites logarítmicos si podrán usarse. Hablas de límites básicos. Habría que saber cómo son de básicos y cuáles son los que se pueden utilizar. Yo, sin tener tu temario y ejercicios anteriores, es imposible que sepa que se puede usar.

El segundo tiene que ser sin duda un límite cuando n tiende a infinito, no tiene otra explicación.

Y el tercero creo que también tiene que ser un límite cuando n tiende a infinito.

Espero, para ver si estás de acuerdo en el segundo y tercero y puedes decirme que puedo usar en el primero.

Un saludo.

pero como dije al graficar, veo que cuando x tiende a 0, por la izquierda la función tiende a 0, pero por la derecha a inf.

Bueno la primera ya la resolví ,simplemente hice el cambio h = x-a , luego h--> 0 y al sustituir lo resuelvo aplicando este limite

lim.....(a^x - 1)/x = lna

x-->0

previamente lo demostré, porque no iba a realizar mi práctica demostrando a cada momento esto por ejercicio

Por eso dije que se me hacia muy parecido a los que ya había resuelto..

Y respecto a los otros dos, el segundo bueno no encontré algún ejemplo, pero con el tercero si encontré uno similar en un libro de ejercicios propuestos,

lim........(cos(a/x) + n*sen(a/x))^x = e^(a*n)

x---> inf

Y si hacemos cambios para referirnos al ejercicio planteado, x=n , debe ser tal y como dices que n-->inf y no lo que plantea el ejercicio x-->inf, y la respuesta es similar a la que encontré

Pero si aplicas L'hospital al tercero,tal y como está,que respuesta obtienes?

Como la presentación de esta práctica es ahora, lo dejaré a la segunda como respuesta la misma expresión(quien se equivocó fue el profesor no yo,de acuerdo a ello, mi respuesta es válida).Y referido a la tercera, lo dejaré en blanco,haha. :o

En fin, eso no implica que no quiera la solución, mas tarde te confirmaré si se equivocó el profesor(lo más probable)

Y tengo una más que al graficarla asignando distintos valores a 'a' me resulta un limite que no existe,porque por la derecha e izquierda tiende a inf y cero respectivamente. Cómo comprobaría analíticamente eso?

lim.....x*(a^(1/x) - 1) , luego hago lo siguiente
x-->0

lim.....(a^(1/x) - 1)(1/x), luego parece adoptar la forma del limite que había demostrado
x-->0

lim.....(a^(1/x) - 1)(1/x), luego parece adoptar la forma del limite que había demostrado
x-->0

pero como dije al graficar, no veo que cuando x tiende a 0, por la izquierdala función tiende a 0, pero por la derecha a inf.

Espero su respuesta :)

Si, el primero está bien así!

Pero ¿como demuestras que lim x-->0 de ((a^x)-1)/x = ln a sin usar la regla de l'Hòpital o fórmula de Simpson?

Porque

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(e^{ln\;a})^x-1}{x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0}\frac{(e^x)^{ln \;a}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(((1+x)^{\frac 1x})^x)^{ln\;a}-1}{x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{ln\;a}-1}{x}=\\ &\\ &\text{Si ln a fuese un número natural, por el binomio de Newton}\\ &\\ &=\frac{1+ (ln\,a)x+ \binom{ln\,a}{2}x^2+\binom{ln\,a}{3}x^3+...+x^{ln\,a}-1}{x}=ln\;a\end{align}$$

pero si (ln a) no es un número natural, no está nada claro cuál es el límite sin usar alguna cosa un tanto especial.

El segundo como te decía es que se han equivocado. La respuesta verdadera es la misma expresión como dices, pero no está mal saber cuál sería el límite si fuese con n. Sera

lim n-->inf [e+1]^(-n) = 0

El tercero tal como está, dependerá de sin sen(a/n) es negativo, nulo o positivo. También le vendría bien que n sea un número entero porque si no. tomará valores complejos.

Sin sen(a/n) es negativo el corchete tenderá a -inf que elevado a la n dependerá de cual sea n.

Si sen(a/n) = [0 es cos(a/n)]^n

Si sen(a/n) es positivo, el corchete será inf y dependerá del signo de n. Si n es positivo el límite será inf y si es negativo será cero.

Y el límite que por la izquierda es cero y or la derecha infinito es:

lim x-->0 de x*(a^(1/x) - 1)

Cuando x<0 queda 0(a^(-inf)-1) =0(0-1)=0

Cuando x>0 queda 0(a^inf -1) es una indeterminación cero por infinito

Se puede calcular de igual forma por ambos lados haciendo

x = 1/(1/x)

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}x(a^{\frac 1x}-1) = \lim_{x \to 0}\frac{a^{\frac 1x}-1}{\frac 1x}=\\ &\\ &\text {llamando } y = \frac 1x\\ &\\ &= \lim_{y \to \infty}\frac{a^y-1}{y}\\ &\\ &\text{Cuando x} \to 0-\implies y \to -\infty \implies lim=0\\ &\\ &\text{Cuando x} \to 0+\implies y \to +\infty \implies lim=+\infty\\ &\\ &\\ & \end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo

Aquí te dejo la demostración, si hay alguna ilegalidad, házmela saber

Respecto a la segunda,efectivamente n-->inf, y no x-->inf

Respecto a la tercera, era similar al ejercicio que encontré en un libro; es decir n--> inf o cambiamos todos los n por x, y ese x por n.Al final resultara e^(a*n) si n-->inf , y con lo tro algo similar.

Respecto a la última, era x-->inf , con eso ya es fácil, simplemente aplico esa propiedad que demostré. Y lo referido a límites laterales,yo también hice lo mismo y eso coloqué antes de presentar,porque todo lo escribí en word,luego después con las indicaciones del profesor, degradé mi trabajo al escribir con lapicero...hahaha

Respecto a la demostración, cabe decir que al inicio no se sabe si 'a' puede ser negativo o positivo, pero al resolverlo y obtener tal limite, queda claro que 'a' debe ser positivo...

Y bueno ya no hay necesidad de resolver nada, puesto que cuando llegó el profesor, nos dijo tales errores, nos dio un poco de tiempo y resolví los dos últimos de la imagen,y el ultimo que lo escribí aquí. Aunque con el segundo de la imagen, me olvidé de invertir la expresión a causa del exponente negativo, y al final obtuve como respuesta inf, gravísimo error mío, la respuesta real fue 0 :(

¡Jope, menudo nivel lleváis!

No creo que hubiera dado yo con esa demostración, aún estoy consternado por ella. Cuando decías artificios matemáticos, no pensaba en estos tan complicados. Como ne me decís estudios, curso, instituto o universidad no sé qué nivel corresponde usar en cada usuario. La demostración la veo bien, no hay ningún atisbo de usar derivadas por ningún sitio, luego la englobaremos en artificios.

Siento que fallaras en ese límite pero veo que lo llevas muy bien, algún día te preguntaré alguna cosa, porque enseñarte me parece que no puedo sino que soy yo el que debe aprender.

Un saludo.

Bueno supongo que eso debe de existir, al igual que tantas cosas que supuestamente demostré por mí mismo,pero existían hace siglos.Yo le veo algo que aprender, pero no para decir que cause consternación...hahaha. Un saludo y gracias por tu tiempo, hasta la próxima :)

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