Corregido-Ecuación diferencial de orden 1 y grado 2

Almería New!

Justo después de mandarte respuesta al que se veía mal has mandado este. Por si las moscas no usaré el editor de ecuaciones hasta que no averigüé en que falla y como evitarlo-

Dividiremos la ecuación diferencial en dos

a) y''=sqrt(y)

b) y''=-sqrt(y)

Y ahora integraremos dos veces cada una

a)

$$\begin{align}&\text {El método para resolver las ecuaciones de la forma:}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=f \left( y,\frac{dy}{dx} \right )\\ &\\ &\\ &\text {Es haciendo}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p \\ &\\ &\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p\\ &\\ &\\ &\text {Haciendo los cambios necesarios tendremos} \\ &p \frac{dp}{dy}=f(y,p)\\ &\\ &\text {Integrando tendremos } p = p(y,C_1)\\ &\text {Volviendo a la ecuación que pusimos al principio es:}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p(y,C_1)\\ &\\ &\frac{dy}{p(y,C1}= dx \\ &\\ &\text {que es de variables separadas e integrando obtendremos:}\\ &\\ &\phi(x,y,C_1,C_2)=0\end{align}$$

Para nuestra ecuación el proceso es:

$$\begin{align}&p \frac{dp}{dy}=\sqrt y\\ &\\ &\\ &p·dp = \sqrt y .dy\\ &\\ &\frac{p^2}{2}= \frac{2}{3}y^{3/2}+C_1\\ &\\ &\\ &\\ &p = \sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}\\ &\\ &\frac{dy}{dx} =\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}\\ &\\ &\frac {dy}{\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}} = dx\\ &\\ & \int \frac {dy}{\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}} = x+C_2 \end{align}$$

Y esa integral no hay quien la resuelva, puede que sea una función no integrable como composición de funciones elementales.

b) Lo mismo, da una función inintegrable con la única diferencia del signo dentro del radicando.

Y como no se puede obtener la ecuación general tendremos que probar las respuestas que nos dan para ver cuál es:

La opción A es el eje de abscisas y=0, cumple la ecuación perfectamente y''=y=0

La opción B el eje de ordenadas x= 0, no es una función de y

Las bisectrices tienen ecuación y=+-x, la derivada segunda y''=0 dsitinto de y, luego no cumplen.

Luego la solución es la A, el eje de abscisas.

Y eso es todo.

Con la empanada que llevo se me olvido que la ecuación era

(y'')^2 = y

y he hecho las pruebas con

y''=y

pero para lo que hemos hecho da lo mismo, la respuesta sigue siendo la A

(y'')^2 = y =0

Como te comentaba en la anterior pregunta, me equivoqué al escribir la ecuación. Esta vez no fue el editor, (que por cierto, si que deja copiar en una pregunta que lances o finalices todo el código del editor, pulsando botón derecho sobre la fórmula y pulsando después en show Tex Commands), si no mía.

La ecuación inicial, y la definitiva, es

y=(y´)^2,

como dice el enunciado "Orden 1 y Grado 2".

Estudiando la ecuación diferencial y haciendo los cambios

"dy/dx=p",

obtengo

x+C=2*sqrt(y),

y por más que lo miro no se si es eje de abscisas (como la solución anterior), ordenadas(x no es función de y)....

Espero que sea otro ejercicio fácil o con truco y lo resuelvas sin problema.

Muchas gracias, y disculpa de nuevo!