Almería New!
Justo después de mandarte respuesta al que se veía mal has mandado este. Por si las moscas no usaré el editor de ecuaciones hasta que no averigüé en que falla y como evitarlo-
Dividiremos la ecuación diferencial en dos
a) y''=sqrt(y)
b) y''=-sqrt(y)
Y ahora integraremos dos veces cada una
a)
$$\begin{align}&\text {El método para resolver las ecuaciones de la forma:}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=f \left( y,\frac{dy}{dx} \right )\\ &\\ &\\ &\text {Es haciendo}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p \\ &\\ &\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p\\ &\\ &\\ &\text {Haciendo los cambios necesarios tendremos} \\ &p \frac{dp}{dy}=f(y,p)\\ &\\ &\text {Integrando tendremos } p = p(y,C_1)\\ &\text {Volviendo a la ecuación que pusimos al principio es:}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p(y,C_1)\\ &\\ &\frac{dy}{p(y,C1}= dx \\ &\\ &\text {que es de variables separadas e integrando obtendremos:}\\ &\\ &\phi(x,y,C_1,C_2)=0\end{align}$$
Para nuestra ecuación el proceso es:
$$\begin{align}&p \frac{dp}{dy}=\sqrt y\\ &\\ &\\ &p·dp = \sqrt y .dy\\ &\\ &\frac{p^2}{2}= \frac{2}{3}y^{3/2}+C_1\\ &\\ &\\ &\\ &p = \sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}\\ &\\ &\frac{dy}{dx} =\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}\\ &\\ &\frac {dy}{\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}} = dx\\ &\\ & \int \frac {dy}{\sqrt{\frac{4}{3}y^{3/2}+C_{12}}} = x+C_2 \end{align}$$
Y esa integral no hay quien la resuelva, puede que sea una función no integrable como composición de funciones elementales.
b) Lo mismo, da una función inintegrable con la única diferencia del signo dentro del radicando.
Y como no se puede obtener la ecuación general tendremos que probar las respuestas que nos dan para ver cuál es:
La opción A es el eje de abscisas y=0, cumple la ecuación perfectamente y''=y=0
La opción B el eje de ordenadas x= 0, no es una función de y
Las bisectrices tienen ecuación y=+-x, la derivada segunda y''=0 dsitinto de y, luego no cumplen.
Luego la solución es la A, el eje de abscisas.
Y eso es todo.