Anónimo
Hola! ¿Podrías ayudarme con estos ejercicios?
Considera la ecuación diferencial (1-xcotx)y”-xy´+y=0 con
0 < x < p.
a) Verifica que cada una de las funciones f1(x)=x
y f2(c)=senx sea solución de la ecuación diferencial.
b) Determina si las funciones f1 y f2 son linealmente dependientes o linealmente
independientes.
c) Escribe la solución general de la ecuación diferencial.
Te agradezco de antemano.
1 respuesta
a)
f1(x) = x
y=x
y'=1
y''=0
(1-xcotx)·0 - x·1 + x = 0
La cumple
f2(x) = senx
y=senx
y' = cosx
y''=-senx
-(1-x·cotx)·senx - x·cosx + senx =
-senx + x·cosx - x·cosx + senx = 0
También lo cumple
2) Nunca se puede pone una función trigonométrica como combinación lineal de polinómicas pero vamos a demostrarlo
a·x + b·senx = 0
para x=0 tendremos
a + b = 0
para x=-1
-a + b·sen1 = 0
sumándolas
b(1+sen1) = 0
b · 1.8414... = 0
b=0
a=0
Luego son funciones linealmente independientes.
Aunque la demostración que he hecho es más propia de Álgebra Lineal, en el Análisis Matemático se prefiere demostrar esto con el wronskiano
| x senx | |x senx|
| x' (senx)'| = |1 cosx| = x·cosx - senx
Y eso no es nulo en todo el intervalo [0,pi], en pi/2 vale -1 por ejemplo, luego son linealmente independientes.
c) Puesto que las dos soluciones particulares son linealmente independientes, la solución general de la ecuación diferencial será cualquier combinación lineal de las dos soluciones
y = C1·x + C2·senx
Para todo C1, C2 € R
Y eso es todo.