Ecuación de una recta y ecuación de una parábola
Un triángulo equilátero cuyos vértices coincide con el origen en un gráfico con una circunferencia inscrita de radio unitario. Encontrar la ecuación de cada una de las rectas que forman el triángulo equilátero. Escribir la ecuación de una parábola que pase por los tres vértices del triángulo equilátero.
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Si te he entendido bien, uno de los vértices está en el origen, pero no se indica en el enunciado cómo está dispuesto el triángulo, y ese dato es necesario para resolver el problema. Vamos a suponer que está de forma que la base es horizontal ( con lo cual uno de los lados es el eje X)
Vayamos por partes
1º El triángulo tiene una circunferencia inscrita de radio r=1. Este dato nos va a permitir calcular el la altura y el lado del triángulo. En todo triángulo, existe un punto ( no recuerdo si el baricentro, incentro..) que está a 1/3 de la altura desde la base. En nuestro caso, al ser un triángulo equilátero, todos esos puntos (ortocentro, baricentro, incentro...), que es donde se cortan las alturas, medianas, mediatrices... coinciden, y vamos a demostrar que está a 1/3 de altura.
Dibujemos un triángulo equilátero, dibujemos las tres alturas o medianas o mediatrices..( todas coinciden) y calculamos el punto donde se cortan.
Llamaremos l al lado, h a la altura, a a la distancia entre la base y el punto, con lo que desde ese punto al vértice tendremos una distancia h-a
Por Pitágoras tenemos
En uno de los pequeños triángulos
(h-a)^2=a^+(l/2)^2
h^2-2*a*h+a^2=a^2+(l/2)^2
h^2-2*a*h=l^2/4
Pero si aplicamos Pitágoras al triángulo rectángulo que es la mitad que el equilátero
l^2=h^2+(l/2)^2
l^2=h^2+l^2/4
l^2-l^2/4=h^2
3/4*l^2=h^2
l^2/4=h^2/3
luego
h^2-2*a*h=h^2/3
h-2*a=h/3
2*a=h-h/3
2*a=2*h/3
a=h/3
Como en nuestro caso a es el radio de la circunferencia inscrita, tenemos que la altura h=3
El lado será
l^2/4=h^2/3
l^2=4*h^2/3
l=2*h/sqrt(3)
Racionalizando
l=2*h/sqrt(3)*sqrt(3)/sqrt(3)
l=2*sqrt(3)*h/3
En nuestro caso h=3
l=2*sqrt(3)
Así pues los vértices serán
A(0,0)
B(2*sqrt(3),0)
C(sqrt(3),3)
Las rectas serán en explícita y=m*x+b
A(0,0),B(2*sqrt(3),0)
y=0 --->eje x
A(0,0),C(sqrt(3),3)
0=m*0+b -->b=0
3=m*sqrt(3)
m=3/sqrt(3)
m=3*sqrt(3)/3=sqrt(3)
y=sqrt(3)*x
B(2*sqrt(3),0),C(sqrt(3),3)
0=2*sqrt(3)*m+b
3=sqrt(3)*m+b
Restando
-3=sqrt(3)*m
m=-3/sqrt(3)
m=-(3/sqrt(3))*sqrt(3)/sqrt(3)=-3*sqrt(3)/3
m=-sqrt(3)
b=-2*sqrt(3)*m=-2*sqrt(3)*(-sqrt(3))=-2*(-3)=6
y=-sqrt(3)*x+6
Es decir, los lados son
y=0
y=sqrt(3)*x
y=-sqrt(3)*x+6
... continúa
Vayamos por partes
1º El triángulo tiene una circunferencia inscrita de radio r=1. Este dato nos va a permitir calcular el la altura y el lado del triángulo. En todo triángulo, existe un punto ( no recuerdo si el baricentro, incentro..) que está a 1/3 de la altura desde la base. En nuestro caso, al ser un triángulo equilátero, todos esos puntos (ortocentro, baricentro, incentro...), que es donde se cortan las alturas, medianas, mediatrices... coinciden, y vamos a demostrar que está a 1/3 de altura.
Dibujemos un triángulo equilátero, dibujemos las tres alturas o medianas o mediatrices..( todas coinciden) y calculamos el punto donde se cortan.
Llamaremos l al lado, h a la altura, a a la distancia entre la base y el punto, con lo que desde ese punto al vértice tendremos una distancia h-a
Por Pitágoras tenemos
En uno de los pequeños triángulos
(h-a)^2=a^+(l/2)^2
h^2-2*a*h+a^2=a^2+(l/2)^2
h^2-2*a*h=l^2/4
Pero si aplicamos Pitágoras al triángulo rectángulo que es la mitad que el equilátero
l^2=h^2+(l/2)^2
l^2=h^2+l^2/4
l^2-l^2/4=h^2
3/4*l^2=h^2
l^2/4=h^2/3
luego
h^2-2*a*h=h^2/3
h-2*a=h/3
2*a=h-h/3
2*a=2*h/3
a=h/3
Como en nuestro caso a es el radio de la circunferencia inscrita, tenemos que la altura h=3
El lado será
l^2/4=h^2/3
l^2=4*h^2/3
l=2*h/sqrt(3)
Racionalizando
l=2*h/sqrt(3)*sqrt(3)/sqrt(3)
l=2*sqrt(3)*h/3
En nuestro caso h=3
l=2*sqrt(3)
Así pues los vértices serán
A(0,0)
B(2*sqrt(3),0)
C(sqrt(3),3)
Las rectas serán en explícita y=m*x+b
A(0,0),B(2*sqrt(3),0)
y=0 --->eje x
A(0,0),C(sqrt(3),3)
0=m*0+b -->b=0
3=m*sqrt(3)
m=3/sqrt(3)
m=3*sqrt(3)/3=sqrt(3)
y=sqrt(3)*x
B(2*sqrt(3),0),C(sqrt(3),3)
0=2*sqrt(3)*m+b
3=sqrt(3)*m+b
Restando
-3=sqrt(3)*m
m=-3/sqrt(3)
m=-(3/sqrt(3))*sqrt(3)/sqrt(3)=-3*sqrt(3)/3
m=-sqrt(3)
b=-2*sqrt(3)*m=-2*sqrt(3)*(-sqrt(3))=-2*(-3)=6
y=-sqrt(3)*x+6
Es decir, los lados son
y=0
y=sqrt(3)*x
y=-sqrt(3)*x+6
... continúa
La ecuación de una parábola es
y=a*x^2+b*x+c
Queremos la parábola que pase por los puntos:
A(0,0)
B(2*sqrt(3),0)
C(sqrt(3),3)
Sustituyendo en la ecuación nos queda
0=a*0+b*0+c
0=a*(2*sqrt(3))^2+b*2*sqrt(3)+c
3=a*(sqrt(3))^2+b*sqrt(3)+c
Luego
c=0
12*a+2*sqrt(3)*b=0
3*a+sqrt(3)*b=3
Multiplicando la de abajo por 2 y restando
12*a+2*sqrt(3)*b=0
6*a+2*sqrt(3)*b=6
------------------
6*a=-6
a=-1
3*a+sqrt(3)*b=3
3*(-1)+sqrt(3)*b=3
-3+sqrt(3)*b=3
sqrt(3)*b=6
b=6/sqrt(3)
Racionalizando
b=6/sqrt(3)*sqrt(3)/sqt(3)
b=6*sqrt(3)/3
b=2*sqrt(3)
Luego la parábola será
y=-x^2+2*sqrt(3)*x
Comprobando los puntos
x=0 -->y=0 A(0,0)
x=2*sqrt(3)
y=-(2*sqrt(3))^2+2*sqrt(3)*2*sqrt(3)
y=-12+12=0 -->B(2*sqrt(3),0)
x=sqrt(3)
y=-(sqrt(3))^2+2*sqrt(3)*sqrt(3)
y=-3+6=3 -->C(sqrt(3),3)
y=a*x^2+b*x+c
Queremos la parábola que pase por los puntos:
A(0,0)
B(2*sqrt(3),0)
C(sqrt(3),3)
Sustituyendo en la ecuación nos queda
0=a*0+b*0+c
0=a*(2*sqrt(3))^2+b*2*sqrt(3)+c
3=a*(sqrt(3))^2+b*sqrt(3)+c
Luego
c=0
12*a+2*sqrt(3)*b=0
3*a+sqrt(3)*b=3
Multiplicando la de abajo por 2 y restando
12*a+2*sqrt(3)*b=0
6*a+2*sqrt(3)*b=6
------------------
6*a=-6
a=-1
3*a+sqrt(3)*b=3
3*(-1)+sqrt(3)*b=3
-3+sqrt(3)*b=3
sqrt(3)*b=6
b=6/sqrt(3)
Racionalizando
b=6/sqrt(3)*sqrt(3)/sqt(3)
b=6*sqrt(3)/3
b=2*sqrt(3)
Luego la parábola será
y=-x^2+2*sqrt(3)*x
Comprobando los puntos
x=0 -->y=0 A(0,0)
x=2*sqrt(3)
y=-(2*sqrt(3))^2+2*sqrt(3)*2*sqrt(3)
y=-12+12=0 -->B(2*sqrt(3),0)
x=sqrt(3)
y=-(sqrt(3))^2+2*sqrt(3)*sqrt(3)
y=-3+6=3 -->C(sqrt(3),3)
