Ayuda con vectores! .
Tengo un problema relacionado a vectores que pertenecen a planos. Lo que pasa es que no encuentro la manera de trabajar en cualquier plano del espacio R3.
Agradecería una explicación de los conceptos que se apliquen en la resolución del problema.
Dado A(-7,4,3)m; C(12,-11,-8)m y el vector posicion de A respecto de B, rB/A=(4,-7,13)m. Halar 2 vectores P y QUE de 20m contenidos en en el plano que pasa por A, B, C tal que P+Q=rB/A
Ayuda.. Es urgentes..! Gracias de antemano
Agradecería una explicación de los conceptos que se apliquen en la resolución del problema.
Dado A(-7,4,3)m; C(12,-11,-8)m y el vector posicion de A respecto de B, rB/A=(4,-7,13)m. Halar 2 vectores P y QUE de 20m contenidos en en el plano que pasa por A, B, C tal que P+Q=rB/A
Ayuda.. Es urgentes..! Gracias de antemano
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No entiendo la m que pones tras los vectores y en "vectores P y QUE de 20m", supongo que querrás decir metros.
Primero calcularemos el punto B que no nos lo dan. Sea OB el vector de (0,0,0) a B
Sabemos que OB + rB/A = A
(b1,b2,b3)+ (4,-7,13) = (-7,4,3)
B = (-7-4, 4+7, 3-13) = (-11, 11, -10)
Ahora podemos tomar como base de los vectores paralelos al plano por ABC a los vectores AB y AC que son:
AB= rB/A = (4,-7,13)
AC = (12, 11, -8) - (-7, 4, 3) = (19, 7, -11)
Los puntos P y Q en coordenadas de esa base serán:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11)
Lo que nos da estas tres ecuaciones:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
Si lo resolvemos nos darían soluciones dependientes de un parámetro, luego habría que determinar ese parámetro para que P y QUE tuvieran 20m. Veo bastante complicado el problema la verdad.
Como explicación de conceptos creo que ya esta.
Primero calcularemos el punto B que no nos lo dan. Sea OB el vector de (0,0,0) a B
Sabemos que OB + rB/A = A
(b1,b2,b3)+ (4,-7,13) = (-7,4,3)
B = (-7-4, 4+7, 3-13) = (-11, 11, -10)
Ahora podemos tomar como base de los vectores paralelos al plano por ABC a los vectores AB y AC que son:
AB= rB/A = (4,-7,13)
AC = (12, 11, -8) - (-7, 4, 3) = (19, 7, -11)
Los puntos P y Q en coordenadas de esa base serán:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11)
Lo que nos da estas tres ecuaciones:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
Si lo resolvemos nos darían soluciones dependientes de un parámetro, luego habría que determinar ese parámetro para que P y QUE tuvieran 20m. Veo bastante complicado el problema la verdad.
Como explicación de conceptos creo que ya esta.
si, la m es de metros.
pues te agradesco por la ayuda. Solo tengo una duda. Como llego al ultimo sistema:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
y a que te refieres con "Los puntos P y Q en coordenadas de esa base serán:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11)"
No entiendo bien lo que es base. Si me podrías ayudar con algún lugar donde encontrar teoría sobre estos temas. La verdad que tengo un trabajo que hacer, pero en realidad no he tratado estos temas antes, pero intento resolver la mayoría de ejercicios. Me refiero a como saber si un vector pertenece a un plano formado por otros vectores, encontrar ecuaciones de planos dados puntos en R3, o dado condiciones como que el plano sea paralelo al eje x. Creo que estos temas tienen relación con el álgebra lineal en R3. Pero como he dicho antes, recién empiezo con el álgebra lineal y no he visto estos temas, si embargo mi profesor de física me envío demasiados ejercicios relacionados a estos temas.
Si sabes de algún libro o alguna página que me pueda ayudar, te agradecería mucho.
pues te agradesco por la ayuda. Solo tengo una duda. Como llego al ultimo sistema:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
y a que te refieres con "Los puntos P y Q en coordenadas de esa base serán:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11)"
No entiendo bien lo que es base. Si me podrías ayudar con algún lugar donde encontrar teoría sobre estos temas. La verdad que tengo un trabajo que hacer, pero en realidad no he tratado estos temas antes, pero intento resolver la mayoría de ejercicios. Me refiero a como saber si un vector pertenece a un plano formado por otros vectores, encontrar ecuaciones de planos dados puntos en R3, o dado condiciones como que el plano sea paralelo al eje x. Creo que estos temas tienen relación con el álgebra lineal en R3. Pero como he dicho antes, recién empiezo con el álgebra lineal y no he visto estos temas, si embargo mi profesor de física me envío demasiados ejercicios relacionados a estos temas.
Si sabes de algún libro o alguna página que me pueda ayudar, te agradecería mucho.
Es tal la relación entre puntos y vectores, que se confunden.
Quería decir los vectores P y QUE en lugar de los puntos P y Q.
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y generador de un subespacio o espacio vectorial. En R3 las bases de un vector determinan una recta, las de dos vectores determinan un plano, las de tres vectores todo R3.
Por eso los vectores que he llamado AB y AC (que son linealmente independientes porque se puede comprobar que no son proporcionales) son una base de un subespacio de dimensión dos cuya representación visual es el plano que tiene los puntos A, B y C.
Y por ser una base de ese plano (mejor dicho, del plano paralelo a ese que pasa por el origen), cualquier vector de ese plano pueden obtenerse mediante combinación lineal de ambos.
Entonces el vector P será
p1·AB + p2·AC
y el vector Q será
q1·AB + q2·AC
Donde (p1, p2) son las coordenadas de P en la base {AB, AC}
Y (q1, q2) son las de Q en esa misma base.
P1, p2, q1, q2 son números del cuerpo base del espacio vectorial, es decir, de R.
Pues consiste en calcular estos 4 valores y lo que nos dice el enunciado es que la suma de P y Q es rB/A, vector que ya conocemos porque nos lo da el enunciado.
La expresión completa de P en la base es:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11) = (4p1+19p2, -7p1+7p2, 13p1-11p2)
y la de Q es:
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11) = (4q1+19q2, -7q1+7q2, 13q1-11q2)
la suma es
P+Q = (4p1+19p2+4q1+19q2, -7p1+7p2-7q1+7q2, 13p1-11p2+13q1-11q2)
Y como P+Q = rB/A = (4,-7,13) las coordenadas deben ser las mismas, por eso se forma el sistema lineal ese de 4 incognitas:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
Pero te preguntarás, si hay cuatro incógnitas porque solo hay tres ecuaciones. La respuesta es que un vector se puede obtener como suma de infinitas parejas de vectores, siempre que cumplan unas determinadas condiciones entre si.
Nuestro vector rB/A se podrá obtener com muchas sumas, pero probablemente haya solo una forma de conseguir eso con sendos vectores de longitud 20. Es algo que mientras no lo resuelva no lo puedo asegurar.
Si cogemos la primera fila multiplicada por 7/4 y la sumamos a la segunda va a quedar
0p1 + [(7·19/4)+7]p2 + 0q1 + [(7·19/4)+7]q2 = 0
simplificando
p2 + q2 = 0
p2=-q2
Y si llevamos este valor a la primera
4p1 +19p2 + 4q1 -19p2 = 4
4p1+4q1 = 4
p1+q1 = 1
p1 = 1-q1
Y se ve que estos valeres verifican la tercera dejando un aidentidad 0=0 luego no hay más concreciones, las soluciones son
p1 = alfa
q1 = 1 -alfa
p2 = beta
q2 = - beta
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11) = (4alfa+19beta, -7alfa+7beta, 13alfa-11beta)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11) = (4(1-alfa)+19beta, -7(1-alfa)+7beta, 13(1-alfa)-11beta)
Hagamos que P y Q midan 20
Bueno, aquí si que lo dejo ya. No veo de recibo que te hayan puesto un ejercicio tan complicado. Alfa y beta los obtendrás solucionando estas dos ecuaciones, casi nada!
(4alfa+19beta)^2 +(-7alfa+7beta)^2 + (13alfa-11beta) ^2 = 400
[4(1-alfa)+19beta]^2 + [-7(1-alfa)+7beta]^2 + [13(1-alfa)-11beta]^2 = 400
De verdad que llevo buen rato intentando encontrar un libro completo, pero no lo encuentro, algunos son demasiado avanzados, otros no están completos. Yo todo lo necesario para resolver este problema lo di antes de la carrera, si tuvieras tus libros de esos cursos tal vez encontraras lo de los espacios vectoriales, afines, euclideos. Y si no, busca en Google cosas sobre álgebra lineal básica, espacios vectoriales, geometría afín, geometría euclidea, sistemas lineales de ecuaciones. ES mejor que tu encuentres lo que necesitas justo a tu medida. Aparte que te juro que no estoy encontrando lo que busco.
Quería decir los vectores P y QUE en lugar de los puntos P y Q.
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y generador de un subespacio o espacio vectorial. En R3 las bases de un vector determinan una recta, las de dos vectores determinan un plano, las de tres vectores todo R3.
Por eso los vectores que he llamado AB y AC (que son linealmente independientes porque se puede comprobar que no son proporcionales) son una base de un subespacio de dimensión dos cuya representación visual es el plano que tiene los puntos A, B y C.
Y por ser una base de ese plano (mejor dicho, del plano paralelo a ese que pasa por el origen), cualquier vector de ese plano pueden obtenerse mediante combinación lineal de ambos.
Entonces el vector P será
p1·AB + p2·AC
y el vector Q será
q1·AB + q2·AC
Donde (p1, p2) son las coordenadas de P en la base {AB, AC}
Y (q1, q2) son las de Q en esa misma base.
P1, p2, q1, q2 son números del cuerpo base del espacio vectorial, es decir, de R.
Pues consiste en calcular estos 4 valores y lo que nos dice el enunciado es que la suma de P y Q es rB/A, vector que ya conocemos porque nos lo da el enunciado.
La expresión completa de P en la base es:
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11) = (4p1+19p2, -7p1+7p2, 13p1-11p2)
y la de Q es:
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11) = (4q1+19q2, -7q1+7q2, 13q1-11q2)
la suma es
P+Q = (4p1+19p2+4q1+19q2, -7p1+7p2-7q1+7q2, 13p1-11p2+13q1-11q2)
Y como P+Q = rB/A = (4,-7,13) las coordenadas deben ser las mismas, por eso se forma el sistema lineal ese de 4 incognitas:
4p1 + 19p2 + 4q1 + 19q2 = 4
-7p1 + 7p2 - 7q1 + 7q2 = -7
13p1 - 11p2 + 13q1 - 11q2 = 13
Pero te preguntarás, si hay cuatro incógnitas porque solo hay tres ecuaciones. La respuesta es que un vector se puede obtener como suma de infinitas parejas de vectores, siempre que cumplan unas determinadas condiciones entre si.
Nuestro vector rB/A se podrá obtener com muchas sumas, pero probablemente haya solo una forma de conseguir eso con sendos vectores de longitud 20. Es algo que mientras no lo resuelva no lo puedo asegurar.
Si cogemos la primera fila multiplicada por 7/4 y la sumamos a la segunda va a quedar
0p1 + [(7·19/4)+7]p2 + 0q1 + [(7·19/4)+7]q2 = 0
simplificando
p2 + q2 = 0
p2=-q2
Y si llevamos este valor a la primera
4p1 +19p2 + 4q1 -19p2 = 4
4p1+4q1 = 4
p1+q1 = 1
p1 = 1-q1
Y se ve que estos valeres verifican la tercera dejando un aidentidad 0=0 luego no hay más concreciones, las soluciones son
p1 = alfa
q1 = 1 -alfa
p2 = beta
q2 = - beta
P = p1(4,-7,13) + p2(19,7,-11) = (4alfa+19beta, -7alfa+7beta, 13alfa-11beta)
Q = q1(4,-7,13) + q2(19,7,-11) = (4(1-alfa)+19beta, -7(1-alfa)+7beta, 13(1-alfa)-11beta)
Hagamos que P y Q midan 20
Bueno, aquí si que lo dejo ya. No veo de recibo que te hayan puesto un ejercicio tan complicado. Alfa y beta los obtendrás solucionando estas dos ecuaciones, casi nada!
(4alfa+19beta)^2 +(-7alfa+7beta)^2 + (13alfa-11beta) ^2 = 400
[4(1-alfa)+19beta]^2 + [-7(1-alfa)+7beta]^2 + [13(1-alfa)-11beta]^2 = 400
De verdad que llevo buen rato intentando encontrar un libro completo, pero no lo encuentro, algunos son demasiado avanzados, otros no están completos. Yo todo lo necesario para resolver este problema lo di antes de la carrera, si tuvieras tus libros de esos cursos tal vez encontraras lo de los espacios vectoriales, afines, euclideos. Y si no, busca en Google cosas sobre álgebra lineal básica, espacios vectoriales, geometría afín, geometría euclidea, sistemas lineales de ecuaciones. ES mejor que tu encuentres lo que necesitas justo a tu medida. Aparte que te juro que no estoy encontrando lo que busco.
