Anónimo
Pregunta de una fórmula de distancia.
Hola valeroasm!
En esta ocasión sólo una duda ¿cuál es la mínima distancia de un punto P cualquiera en función de su variable POR a una curva?
Yo opino si se conoce la regla de correspondencia de una funcion f y su dominio.Por ejemplo: Sea la funcion f:f(x)=x^2 y dom=R ;entonces es posible conocer la mínima distancia de un punto P(xo,yo) a la curva enfuncion de xo, lo que haría sería derivar con la distancia con respecto a su variable x tal que esta derivada resulte cero, es en este paso obtengo las cordenadas del punto P que hacen que la distancia sea mínima.¿verdad?.
Lo que quiero que respondas es si conoces la fórmula general de la ecuación de la distancia a una curva, pero ya en esta ocasión presentando a una función cualquiera de pares ordenados(x, y).No lo sé puede ser en función de matrices, valor absoluto u otro termino matemático conocido o no conocido o quizás no se puede hallar.
Un caso particular es la mínima distancia de un punto a una recta , su fómula es conocida: d=|axo+byo+c|/(sqrt(a^2+(b^2)), para un punto P(xo,yo) cualquiera, esta ecuación de la distancia mínima sirve sólo cuando se trabaja en el plano XY ¿verdad?.
En un caso parecido te pregunto cual sería la fórmula de la mínima distancia de un Punto P cualquiera a una recta pero en esta vez en el plano X, Y, Z, ... También en general preguntarte cual sería la fórmula de la distancia mínima de un punto Pa una recta pero cuando se trabaja por ejemplo en 4,5,6,... N dimensiones[[Yo considero al plano xy como 2 dimensiones, al plano XYZ como 3 dimensiones, entonces creo que ya queda claro qúe es lo que te quiero decir]]
Luego de que usted haya respondido todas mis dudas de los casos particulares de la distancias mínimas de un punto hacia una recta trabajando en 2D, 3D, 4D,... ND.Lo digo que son casos particulares porque no son las únicas formas de funciones que pueden haber.
Luego de haber formulado tantas dudas retornemos a la duda inicial.
Lo que yo creo es que la distancia de un punto a una curva sólo sólo se puede conocer si se conoce la regla de correspondencia y el dominio de la función. ¿Verdad?.
Pero en las siguientes dudas planteadas luego de la inicial, creo que no podrías dar como respuesta que no se conoce la fórmula de la distancia mínima en los casos particulares de la distancia mínima de un punto a una recta, trabajando en 2D, 3D, 4D... ND. Lo digo porque se conoce la familia de funciones que en estos casos particulares son rectas.Si se pudo calcular la mínima distancia de un punto a una recta en 2D entonces también se puede calcular la mínima distancia de un punto una recta efectuando en cualquier tipo de dimensión.
Retornado también a mi duda inicial.
Yo miro el problema y calculo la mínima distancia de un punto a una curva sólo si conozco su regla de correspondencia, luego aplicando derivadas conociendo las coordenadas del punto QUE que es un punto de la curva, y finalmente reemplazando y así conociendo la distancia mínima para cualquier punto P que no es de la curva de coordenadas conocidas.
Pero lo no le encuentro sentido y es que ¿por qué para que esta distancia sea mínima, la derivada tiene que ser cero?
Quizás me puedes responder es por máximos y mínimos.
... Pero yo te pregunto el por qué por ejemplo en un caso particular trabajando en 2D, para una recta y un punto que no pertenece a la recta yo digo que la mínima distancia es la perpendicular a la curva por razones obvias, aunque no estaría mal que lo demustres.
Pero ya hablando de una curva que se conoces su regla de correspondencia, yo no puedo decir que la mínima distancia es la perpendicular a la curva ya que no tendría sentido. ¿Verdad?.
¿Por qué en las curvas la mínima distancia de un punto situado fuera de la curva es aquella que es perpendicular a la recta tangente de un punto de una curva?.
En la parte incial yo hice mención de que se puede conocer la mínima distancia de un punto P cuyas cordenadas son conocidas a a una curva curva cuya regla de correspondencia es conocida y los valores de su dominio son todos los que puede tomar tal que no vole los principios de la matematica.Ahora te menciono el caso del calculo de la minima distancia de un punto cuyas cordenadas son conocidas hacia la curva cuya regla de correspondencia es conocida y con un dominio restringido de loq ue puede tomar.Por si no entendiste la ultima parte te digo imagina a una curva más o menos como la funcion seno, ahora los valores del domino que sean des de menos infinito hasta un cierto valor,....como por ejemplo aproximando hasta x=5, ahora ubica un punto P alejado hacia la derecha y un poco arriba de la curva entonces, una posible respuesta sería si en caso esta curva o funcion puede tomar todos los valores que se permita entonces la mínima distancia sería un poco obvio y tienes tu respuesta pero ahora quitale cierta cantidad de valores del dominio tal que este quede como el dominio que mencioné enantes. Entonces cual sería la mínima distancia del punto a la curva.
Atte:F.P.D.L
En esta ocasión sólo una duda ¿cuál es la mínima distancia de un punto P cualquiera en función de su variable POR a una curva?
Yo opino si se conoce la regla de correspondencia de una funcion f y su dominio.Por ejemplo: Sea la funcion f:f(x)=x^2 y dom=R ;entonces es posible conocer la mínima distancia de un punto P(xo,yo) a la curva enfuncion de xo, lo que haría sería derivar con la distancia con respecto a su variable x tal que esta derivada resulte cero, es en este paso obtengo las cordenadas del punto P que hacen que la distancia sea mínima.¿verdad?.
Lo que quiero que respondas es si conoces la fórmula general de la ecuación de la distancia a una curva, pero ya en esta ocasión presentando a una función cualquiera de pares ordenados(x, y).No lo sé puede ser en función de matrices, valor absoluto u otro termino matemático conocido o no conocido o quizás no se puede hallar.
Un caso particular es la mínima distancia de un punto a una recta , su fómula es conocida: d=|axo+byo+c|/(sqrt(a^2+(b^2)), para un punto P(xo,yo) cualquiera, esta ecuación de la distancia mínima sirve sólo cuando se trabaja en el plano XY ¿verdad?.
En un caso parecido te pregunto cual sería la fórmula de la mínima distancia de un Punto P cualquiera a una recta pero en esta vez en el plano X, Y, Z, ... También en general preguntarte cual sería la fórmula de la distancia mínima de un punto Pa una recta pero cuando se trabaja por ejemplo en 4,5,6,... N dimensiones[[Yo considero al plano xy como 2 dimensiones, al plano XYZ como 3 dimensiones, entonces creo que ya queda claro qúe es lo que te quiero decir]]
Luego de que usted haya respondido todas mis dudas de los casos particulares de la distancias mínimas de un punto hacia una recta trabajando en 2D, 3D, 4D,... ND.Lo digo que son casos particulares porque no son las únicas formas de funciones que pueden haber.
Luego de haber formulado tantas dudas retornemos a la duda inicial.
Lo que yo creo es que la distancia de un punto a una curva sólo sólo se puede conocer si se conoce la regla de correspondencia y el dominio de la función. ¿Verdad?.
Pero en las siguientes dudas planteadas luego de la inicial, creo que no podrías dar como respuesta que no se conoce la fórmula de la distancia mínima en los casos particulares de la distancia mínima de un punto a una recta, trabajando en 2D, 3D, 4D... ND. Lo digo porque se conoce la familia de funciones que en estos casos particulares son rectas.Si se pudo calcular la mínima distancia de un punto a una recta en 2D entonces también se puede calcular la mínima distancia de un punto una recta efectuando en cualquier tipo de dimensión.
Retornado también a mi duda inicial.
Yo miro el problema y calculo la mínima distancia de un punto a una curva sólo si conozco su regla de correspondencia, luego aplicando derivadas conociendo las coordenadas del punto QUE que es un punto de la curva, y finalmente reemplazando y así conociendo la distancia mínima para cualquier punto P que no es de la curva de coordenadas conocidas.
Pero lo no le encuentro sentido y es que ¿por qué para que esta distancia sea mínima, la derivada tiene que ser cero?
Quizás me puedes responder es por máximos y mínimos.
... Pero yo te pregunto el por qué por ejemplo en un caso particular trabajando en 2D, para una recta y un punto que no pertenece a la recta yo digo que la mínima distancia es la perpendicular a la curva por razones obvias, aunque no estaría mal que lo demustres.
Pero ya hablando de una curva que se conoces su regla de correspondencia, yo no puedo decir que la mínima distancia es la perpendicular a la curva ya que no tendría sentido. ¿Verdad?.
¿Por qué en las curvas la mínima distancia de un punto situado fuera de la curva es aquella que es perpendicular a la recta tangente de un punto de una curva?.
En la parte incial yo hice mención de que se puede conocer la mínima distancia de un punto P cuyas cordenadas son conocidas a a una curva curva cuya regla de correspondencia es conocida y los valores de su dominio son todos los que puede tomar tal que no vole los principios de la matematica.Ahora te menciono el caso del calculo de la minima distancia de un punto cuyas cordenadas son conocidas hacia la curva cuya regla de correspondencia es conocida y con un dominio restringido de loq ue puede tomar.Por si no entendiste la ultima parte te digo imagina a una curva más o menos como la funcion seno, ahora los valores del domino que sean des de menos infinito hasta un cierto valor,....como por ejemplo aproximando hasta x=5, ahora ubica un punto P alejado hacia la derecha y un poco arriba de la curva entonces, una posible respuesta sería si en caso esta curva o funcion puede tomar todos los valores que se permita entonces la mínima distancia sería un poco obvio y tienes tu respuesta pero ahora quitale cierta cantidad de valores del dominio tal que este quede como el dominio que mencioné enantes. Entonces cual sería la mínima distancia del punto a la curva.
Atte:F.P.D.L
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Si claro, derivando la función distancia e igualando a cero se obtiene la mínima distancia suponiendo que la función sea suficientemente bondadosa de derivable, continua, etc.
Lo que suelo decir en todos estos ejercicios es que no es necesario derivar la función distancia, quie se puede derivar la función distancia al cuadrado que no tendrá esa molesta raíz cuadrada y es equivalente. Si la distancia es mínima, también el cuadrado de la distancia lo será entre los cuadrados de las distancias.
No conozco ninguna fórmula general para el cálculo de la distancia de un punto a una función, salvo para algunas como la recta que mencionas, la circunferenica y te podría deducir la fórmula de la distancia de varias, pero siempre usando las derivadas y los mínimos.
El equivalente a la distancia en el plano de una recta a un punto es la distancia de un punto a un plano en el espacio. Se calcula de forma análoga mediante la ecuación del plano del en el espacio
d(plano, (xo,yo,zo) = |Axo+Byo+Czo+D|/sqrt(A^2 + B^2+C^2)
Y esto se generaliza para espacios de más dimensiones. La distancia del hiperplano de ese espacio a un punto es como esa fórmula con tantas variables como dimensión tenga el espacio. El hiperplano es la variedad algebraica de diensión n-1 en un espacio de dimensión n.
Por eso es fácil el cálculo de la distancia recta punto en el plano, porque la recta es el hiperplano del plano.
Pero en el espacio ya no es tan sencillo el cálculo de la distancia de un punto a la recta. Hay que acudir al truco de tomar dos puntos de la recta para formar un triángulo con el punto en cuestión. Mediante el producto vectorial se halla el área del triángulo. Dicha área será la base formada por esos dos puntos por la altura dividido por dos. La altura es la distancia mínima, luego la calculamos como dos veces el área del triangulo dividido por la base.
Vamos a expresarlo bien.
Sea un punto P(pero, yo, zo) y la recta r : P1+tv donde P1 es un punto de la recta, t es un parámetro y v un vector. Calculamos dos puntos de la recta dando dos valores de t, por ejemplo P1 para t=0 y P2 para t=1.
El área del triángulo P, P1, P2 es (1/2) del producto vectorial de dos vectores entre puntos, P1-P y P2-P por ejemplo. AHora vamos a considerar esa área como el producto de la base P1P2 por la altura de esa base a P dividido por 2. Esta altura es la perpendicular a la recta pasando por el punto, luego es la distancia más corta.
Resumiendo: distancia(P,r) = 2(Area triangulo) / P1P2
Donde P1P2 es la distancia entre esos dos puntos.
¿Esto mismo sirve para cualquier dimensión? No sé, yo la definición de producto vectorial solo la he encontrado para R3. Entonces para cualquier dimensión habría que tomar el hiperplano perpendicular a la recta que pasara por P y luego calcular la distancia del punto P al apunto donde se cortan recta e hiperplano.
Pues si, es por máximos y mínimos por lo que debe anularse la derivada primera. Cuando se anula la derivada primera puede ser que la función deje de crecer o disminuir y pasar a hacer lo contrario, con la cual ha dejado un máximo o mínimo en ese punto donde se anula.
En el plano la distancia de un punto a la recta es la de la perpendicular a esta pasando por el punto. Es obvio, cualquier otro punto de la recta junto con el punto y el punto de proyección forman un triángulo rectángulo donde la hipotenusa siempre será mayor que el cateto de la proyección. Luego el punto más cercano es este que es la proyección ortogonal.
Las curvas que no son rectas no tienen una perdendicular como tal, pero si rectas perpendiculares a la tengente en cada punto. Nosotros cogemos un compás y lo pinchamos en nuestro punto, iremos describiendo círculos cada vez de mayor radio pero con incrementos infinitesimales hasta llegar a la curva. En el instante justo que se llega se corta solo en un punto o en varios pero ningún puto de la función queda dentro del circulo. Si la tangente de la función no fuera perpendicular al radio habría parte de la función que siguiendo la dirección de la tangente se metería en el círculo, pero eso es contradictorio con que el compás aumenta el radio de manera infinitesimal, luego el radio en el punto de contacto con la tangente de la función son perpendiculares.
Si quitas puntos, en el calculo del mínimo por derivadas puede suceder quehayas quitado el mínimo. Sería cuestión de evaluar la función en los puntos más cercanos al mínimo que si pertenezcan al dominio y ver en cual de ellos es mínima la distancia. El método del compás dejaría de tener la equivalencia con la perpendicularidad.
Y eso es todo lo que te puedo decir de momento.
Lo que suelo decir en todos estos ejercicios es que no es necesario derivar la función distancia, quie se puede derivar la función distancia al cuadrado que no tendrá esa molesta raíz cuadrada y es equivalente. Si la distancia es mínima, también el cuadrado de la distancia lo será entre los cuadrados de las distancias.
No conozco ninguna fórmula general para el cálculo de la distancia de un punto a una función, salvo para algunas como la recta que mencionas, la circunferenica y te podría deducir la fórmula de la distancia de varias, pero siempre usando las derivadas y los mínimos.
El equivalente a la distancia en el plano de una recta a un punto es la distancia de un punto a un plano en el espacio. Se calcula de forma análoga mediante la ecuación del plano del en el espacio
d(plano, (xo,yo,zo) = |Axo+Byo+Czo+D|/sqrt(A^2 + B^2+C^2)
Y esto se generaliza para espacios de más dimensiones. La distancia del hiperplano de ese espacio a un punto es como esa fórmula con tantas variables como dimensión tenga el espacio. El hiperplano es la variedad algebraica de diensión n-1 en un espacio de dimensión n.
Por eso es fácil el cálculo de la distancia recta punto en el plano, porque la recta es el hiperplano del plano.
Pero en el espacio ya no es tan sencillo el cálculo de la distancia de un punto a la recta. Hay que acudir al truco de tomar dos puntos de la recta para formar un triángulo con el punto en cuestión. Mediante el producto vectorial se halla el área del triángulo. Dicha área será la base formada por esos dos puntos por la altura dividido por dos. La altura es la distancia mínima, luego la calculamos como dos veces el área del triangulo dividido por la base.
Vamos a expresarlo bien.
Sea un punto P(pero, yo, zo) y la recta r : P1+tv donde P1 es un punto de la recta, t es un parámetro y v un vector. Calculamos dos puntos de la recta dando dos valores de t, por ejemplo P1 para t=0 y P2 para t=1.
El área del triángulo P, P1, P2 es (1/2) del producto vectorial de dos vectores entre puntos, P1-P y P2-P por ejemplo. AHora vamos a considerar esa área como el producto de la base P1P2 por la altura de esa base a P dividido por 2. Esta altura es la perpendicular a la recta pasando por el punto, luego es la distancia más corta.
Resumiendo: distancia(P,r) = 2(Area triangulo) / P1P2
Donde P1P2 es la distancia entre esos dos puntos.
¿Esto mismo sirve para cualquier dimensión? No sé, yo la definición de producto vectorial solo la he encontrado para R3. Entonces para cualquier dimensión habría que tomar el hiperplano perpendicular a la recta que pasara por P y luego calcular la distancia del punto P al apunto donde se cortan recta e hiperplano.
Pues si, es por máximos y mínimos por lo que debe anularse la derivada primera. Cuando se anula la derivada primera puede ser que la función deje de crecer o disminuir y pasar a hacer lo contrario, con la cual ha dejado un máximo o mínimo en ese punto donde se anula.
En el plano la distancia de un punto a la recta es la de la perpendicular a esta pasando por el punto. Es obvio, cualquier otro punto de la recta junto con el punto y el punto de proyección forman un triángulo rectángulo donde la hipotenusa siempre será mayor que el cateto de la proyección. Luego el punto más cercano es este que es la proyección ortogonal.
Las curvas que no son rectas no tienen una perdendicular como tal, pero si rectas perpendiculares a la tengente en cada punto. Nosotros cogemos un compás y lo pinchamos en nuestro punto, iremos describiendo círculos cada vez de mayor radio pero con incrementos infinitesimales hasta llegar a la curva. En el instante justo que se llega se corta solo en un punto o en varios pero ningún puto de la función queda dentro del circulo. Si la tangente de la función no fuera perpendicular al radio habría parte de la función que siguiendo la dirección de la tangente se metería en el círculo, pero eso es contradictorio con que el compás aumenta el radio de manera infinitesimal, luego el radio en el punto de contacto con la tangente de la función son perpendiculares.
Si quitas puntos, en el calculo del mínimo por derivadas puede suceder quehayas quitado el mínimo. Sería cuestión de evaluar la función en los puntos más cercanos al mínimo que si pertenezcan al dominio y ver en cual de ellos es mínima la distancia. El método del compás dejaría de tener la equivalencia con la perpendicularidad.
Y eso es todo lo que te puedo decir de momento.
Está bien tu explicacioón dime que harías en este caso.
Prob.-Encuentre el punto de la hipérbola xy=8 está más cercano al punto (3,0).
Sol)
La formula de la distancia es d=sqrt((xo-3)^2+(8/xo)^2).
Por intuición digo que la distancia mínima es la derivada de la distancia con respecto a pero.
Siendo más anlíticos tendríamos que analizar la gráfica de la funcion distancia vs Xo.La verdad que yo no he realizado esta gráfica, pero supongo que será una grafica similar a la una parábola de la forma:y=a(x-h)^2+k, con a>0.Despues de haber resuelto varios ejercicios de distancia minima de un punto a una recta nos damos cuenta que la gráfica de la distanciavsXo tiene la forma de una parábola:y=a(x-h)^2+k, con a>0.En estos ejercicios tendría sentido de hablar de distancia minima cuando la derivada de d con respecto a xo es cero ya que en este caso la parábola tiene el minimo cuando la la recta tangente a ese punto tiene pendiente cero en la grafica dvsXo. Pero ¿que pasaría si la grafica de la funcion distancia vs xo no tendria un comportamiento similar a la de una parábola concava hacia abajo sino de otra forma entonces tendría sentido de hablar de que la distancia mínima a xo es cuando la derivada de d con respecto a xo es cero?.O sea el mínimo sería cuando una recta tangente en un punto tiene como pendiente cero en la grafica?.
Saludos.
Prob.-Encuentre el punto de la hipérbola xy=8 está más cercano al punto (3,0).
Sol)
La formula de la distancia es d=sqrt((xo-3)^2+(8/xo)^2).
Por intuición digo que la distancia mínima es la derivada de la distancia con respecto a pero.
Siendo más anlíticos tendríamos que analizar la gráfica de la funcion distancia vs Xo.La verdad que yo no he realizado esta gráfica, pero supongo que será una grafica similar a la una parábola de la forma:y=a(x-h)^2+k, con a>0.Despues de haber resuelto varios ejercicios de distancia minima de un punto a una recta nos damos cuenta que la gráfica de la distanciavsXo tiene la forma de una parábola:y=a(x-h)^2+k, con a>0.En estos ejercicios tendría sentido de hablar de distancia minima cuando la derivada de d con respecto a xo es cero ya que en este caso la parábola tiene el minimo cuando la la recta tangente a ese punto tiene pendiente cero en la grafica dvsXo. Pero ¿que pasaría si la grafica de la funcion distancia vs xo no tendria un comportamiento similar a la de una parábola concava hacia abajo sino de otra forma entonces tendría sentido de hablar de que la distancia mínima a xo es cuando la derivada de d con respecto a xo es cero?.O sea el mínimo sería cuando una recta tangente en un punto tiene como pendiente cero en la grafica?.
Saludos.
Cuando la derivada primera de una función se anula, es decir que la recta tangente se hace horizontal pueden sucedet tres cosas, es un mínimo relativo, un máximo relativo o un punto de inflexión. En este ultimo caso la función sigue creciendo o decreciendo, pero pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
LO que puede suceder es que haya varios sitios donde se anule la derivada y entre ellos varios mínimos relativos. Entonces debes evaluar la función distancia en todos esos puntos para ver cual de ellos es el que tiene menor distancia. Asimismo, también hay que evaluar la función en los extremos del dominio, puntos no derivables y puntos no continuos para las funciones más raras.
Y siempre tendrá que haber un punto o varios que sean los más cercanos, otra situación es impensable.
Y eso es todo.
LO que puede suceder es que haya varios sitios donde se anule la derivada y entre ellos varios mínimos relativos. Entonces debes evaluar la función distancia en todos esos puntos para ver cual de ellos es el que tiene menor distancia. Asimismo, también hay que evaluar la función en los extremos del dominio, puntos no derivables y puntos no continuos para las funciones más raras.
Y siempre tendrá que haber un punto o varios que sean los más cercanos, otra situación es impensable.
Y eso es todo.