Anónimo
Duda con dominio y rango
Indique el dominio, rengo y grafique la siguiente ecuación.
(2y)( x²-y²)= x²
Sol)
Para indicar el dominio y rango de la siguiente ecuación, tenemos opciones.
1) La más conocida es despejar ¨y¨, y despejar por para obtener lo pedido.
2) Utilizando la definición de relaciones inversas.
3)Aplicando derivadas para saber en que intevalos la función es creciente o decreciente, utilizando la segunda derivada para saber los puntos de inflexión.
Yo he desarrollado este problema utilizando la segunda opcion, pero a la vez tanteando valores para x para saber como es la curva.Luego como se sabe que el domR=rangoR (inversa) , rangoR=domR(inversa)
Trabajando con la relación inversa: (2x)(y²-x²)=y²
a)Efectuando la parte interna: 2xy²-2x³=y²
b)despejando y²(2x-1)=2x³, entonces y=mas, menos(v2x³/2x-1).
c)Analizando y? R, analizandoy²=o entonces x=0 o x<½
d)Analizando solo hay un punto critico, luego tanteando valores para determinar la gráfica de la inversa.
Ahora considerando que mi (relación inversa fuese como la directa), entonces lo que tendría que hallar (la reacion inversa que es mi relación directa(lo que me piden hallar)).
Entonces con el espejo y=x hallo mi gráfica, tanteando valores.
¿Quisiera saber si lo que he desarrollado es correcto?
Claro bosuejando mi gráfica con respecto a los puntos de inflexión(si los hubiesen).
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Saludos ...
(2y)( x²-y²)= x²
Sol)
Para indicar el dominio y rango de la siguiente ecuación, tenemos opciones.
1) La más conocida es despejar ¨y¨, y despejar por para obtener lo pedido.
2) Utilizando la definición de relaciones inversas.
3)Aplicando derivadas para saber en que intevalos la función es creciente o decreciente, utilizando la segunda derivada para saber los puntos de inflexión.
Yo he desarrollado este problema utilizando la segunda opcion, pero a la vez tanteando valores para x para saber como es la curva.Luego como se sabe que el domR=rangoR (inversa) , rangoR=domR(inversa)
Trabajando con la relación inversa: (2x)(y²-x²)=y²
a)Efectuando la parte interna: 2xy²-2x³=y²
b)despejando y²(2x-1)=2x³, entonces y=mas, menos(v2x³/2x-1).
c)Analizando y? R, analizandoy²=o entonces x=0 o x<½
d)Analizando solo hay un punto critico, luego tanteando valores para determinar la gráfica de la inversa.
Ahora considerando que mi (relación inversa fuese como la directa), entonces lo que tendría que hallar (la reacion inversa que es mi relación directa(lo que me piden hallar)).
Entonces con el espejo y=x hallo mi gráfica, tanteando valores.
¿Quisiera saber si lo que he desarrollado es correcto?
Claro bosuejando mi gráfica con respecto a los puntos de inflexión(si los hubiesen).
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Saludos ...
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Fabian Pdl!
Acabo de ver tu pregunta, pero no podré ponerme con ella hasta debtro de unas ocho horas.
Ya la vi en el tablón y la leí unas cuantas veces, pero es que no entendía que querías decir.
Con lo de:
(Relación inversa fuese como la directa)
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Y otras cosas me perdía y no sabía qué querías decir. Si la hubiese entendido ya haría días que la habría contestado.
Por eso te pido que me la expliques mejor o de tora forma, porque de verdad que no entiendo.
Ciertamente que graficar una función implícita es un problema extra, yo creo que no lo he hecho nunca.
Si lo que quieres decir es como despejar por te diré que es harto complicado. Es una ecuación de tercer grado y se sale de las enseñanzas comunes. Simplemente paséate por la página:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Y verás la ingente tarea que es.
En tiempos hice un ejercicio similar:
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/expert/questions/view/2669043/inversa-de-f-x-x-3-x
Y aún guardo el infausto recuerdo del palizón que me pegué.
Pues eso, me gustaría que me explicases de otra forma que quieres hacer exactamente
Acabo de ver tu pregunta, pero no podré ponerme con ella hasta debtro de unas ocho horas.
Ya la vi en el tablón y la leí unas cuantas veces, pero es que no entendía que querías decir.
Con lo de:
(Relación inversa fuese como la directa)
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Y otras cosas me perdía y no sabía qué querías decir. Si la hubiese entendido ya haría días que la habría contestado.
Por eso te pido que me la expliques mejor o de tora forma, porque de verdad que no entiendo.
Ciertamente que graficar una función implícita es un problema extra, yo creo que no lo he hecho nunca.
Si lo que quieres decir es como despejar por te diré que es harto complicado. Es una ecuación de tercer grado y se sale de las enseñanzas comunes. Simplemente paséate por la página:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Y verás la ingente tarea que es.
En tiempos hice un ejercicio similar:
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/expert/questions/view/2669043/inversa-de-f-x-x-3-x
Y aún guardo el infausto recuerdo del palizón que me pegué.
Pues eso, me gustaría que me explicases de otra forma que quieres hacer exactamente
Indique el dominio, rengo y grafique la siguiente ecuación.
(2y)( x²-y²)= x²
Sol)
Para indicar el dominio y rango de la siguiente ecuación, tenemos opciones.
1) La más conocida es despejar ¨y¨, y despejar por para obtener lo pedido.
2) Utilizando la definición de relaciones inversas.
3)Aplicando derivadas para saber en que intevalos la función es creciente o decreciente, utilizando la segunda derivada para saber los puntos de inflexión.
Yo he desarrollado este problema utilizando la segunda opcion, pero a la vez tanteando valores para x para saber como es la curva.Luego como se sabe que el domR=rangoR (inversa) , rangoR=domR(inversa)
Trabajando con la relación inversa: (2x)(y²-x²)=y²
a)Efectuando la parte interna: 2xy²-2x³=y²
b)despejando y²(2x-1)=2x³, entonces y=mas, menos(v2x³/2x-1).
c)Analizando y? R, analizandoy²=o entonces x=0 o x<½
d)Analizando solo hay un punto critico, luego tanteando valores para determinar la gráfica de la inversa.
Ahora considerando que mi (relación inversa fuese como la directa), entonces lo que tendría que hallar (la reacion inversa que es mi relación directa(lo que me piden hallar)).
Entonces con el espejo y=x hallo mi gráfica, tanteando valores.
¿Quisiera saber si lo que he desarrollado es correcto?
Claro bosuejando mi gráfica con respecto a los puntos de inflexión(si los hubiesen).
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Saludos ...
(2y)( x²-y²)= x²
Sol)
Para indicar el dominio y rango de la siguiente ecuación, tenemos opciones.
1) La más conocida es despejar ¨y¨, y despejar por para obtener lo pedido.
2) Utilizando la definición de relaciones inversas.
3)Aplicando derivadas para saber en que intevalos la función es creciente o decreciente, utilizando la segunda derivada para saber los puntos de inflexión.
Yo he desarrollado este problema utilizando la segunda opcion, pero a la vez tanteando valores para x para saber como es la curva.Luego como se sabe que el domR=rangoR (inversa) , rangoR=domR(inversa)
Trabajando con la relación inversa: (2x)(y²-x²)=y²
a)Efectuando la parte interna: 2xy²-2x³=y²
b)despejando y²(2x-1)=2x³, entonces y=mas, menos(v2x³/2x-1).
c)Analizando y? R, analizandoy²=o entonces x=0 o x<½
d)Analizando solo hay un punto critico, luego tanteando valores para determinar la gráfica de la inversa.
Ahora considerando que mi (relación inversa fuese como la directa), entonces lo que tendría que hallar (la reacion inversa que es mi relación directa(lo que me piden hallar)).
Entonces con el espejo y=x hallo mi gráfica, tanteando valores.
¿Quisiera saber si lo que he desarrollado es correcto?
Claro bosuejando mi gráfica con respecto a los puntos de inflexión(si los hubiesen).
¿Quisiera saber como se resuelve este problema por el método 1, no le doy forma?
Saludos ...
Hola!
En otras palabras lo que quise decir fue:
La forma en la cual solucione el problema fue usando lo siguiente :
1) (Dom f,Rang f inversa ) y (Rang f, Dom f inversa).
2)La grafica de la funcion inversa de una funcion f, es simetrica con respecto a lagrafica y=x
Partiendo de la ecuacion original: (2y)( x²-y²)= x².
a) Efectuando: 2yx²-2y³=x²
b) Factorizando: x²(2y-1)=2y³
c) Despues de varios intentos no llegue a resolver el problema de la forma convencional que seria( despejando el valor de y en terminos de x, asi obteniendo el Domf, Rangf y su respectiva grafica)
d)Pues entonces empleando un artificio considere a la ecuación original de la función:
[x²(2y-1)=2y³, no como una funcion f , sino como la funcion inversa de una funcion f)
Por ejemplo: y=2x sea una función f, entonces su función inversa seria y=x/2, esta función inversa se otuvo al reemplazar el ( y por el x), y (el x por el y), análogamente empleo este método en mi ecuación original.
e) x²(2y-1)=2y³ seria la ecuación de una función inversa f, y²(2x-1)=2x³ seria la ecuación de una función f ¿se puede emplear esto?.
f)Empleando este método creo que seria un poco más sencillo de resolver lo pedido, ya que a partir de y²(2x-1)=2x³, empleando las 3 partes que te explico en el problema inicial, obtengo el Dom, Rang y gráfica.
¿Mi duda es como resuelvo aquel problema sin emplear este método entre funciones y funciones inversas, o sea de la forma convencional?
Un saludo.
En otras palabras lo que quise decir fue:
La forma en la cual solucione el problema fue usando lo siguiente :
1) (Dom f,Rang f inversa ) y (Rang f, Dom f inversa).
2)La grafica de la funcion inversa de una funcion f, es simetrica con respecto a lagrafica y=x
Partiendo de la ecuacion original: (2y)( x²-y²)= x².
a) Efectuando: 2yx²-2y³=x²
b) Factorizando: x²(2y-1)=2y³
c) Despues de varios intentos no llegue a resolver el problema de la forma convencional que seria( despejando el valor de y en terminos de x, asi obteniendo el Domf, Rangf y su respectiva grafica)
d)Pues entonces empleando un artificio considere a la ecuación original de la función:
[x²(2y-1)=2y³, no como una funcion f , sino como la funcion inversa de una funcion f)
Por ejemplo: y=2x sea una función f, entonces su función inversa seria y=x/2, esta función inversa se otuvo al reemplazar el ( y por el x), y (el x por el y), análogamente empleo este método en mi ecuación original.
e) x²(2y-1)=2y³ seria la ecuación de una función inversa f, y²(2x-1)=2x³ seria la ecuación de una función f ¿se puede emplear esto?.
f)Empleando este método creo que seria un poco más sencillo de resolver lo pedido, ya que a partir de y²(2x-1)=2x³, empleando las 3 partes que te explico en el problema inicial, obtengo el Dom, Rang y gráfica.
¿Mi duda es como resuelvo aquel problema sin emplear este método entre funciones y funciones inversas, o sea de la forma convencional?
Un saludo.
No recuerdo yo haber hecho gráficas de funciones implícitas no despejables. Pero me parece excepcional el método de hacer la gráfica de la función inversa y dibujar la original por simetría con la rectga y=x. ¿Te lo enseñaron en clase? Si lo has ideado tú está muy bien pensado.
Una cosa te agradecería. Deja de usar la v para la raíz cuadrada, y mucho menos si después no pones un paréntesis indicando hasta donde llega la raíz. Cuando en un programa de ordenador de programación general o de gráficas tengas que expresar una función tendrás que usar sqrt(x) o sqr(x) en algunos. También puedes usar x^(1/2), pero nunca la uve.
Acostumbra también a poner los denominadores siempre entre paréntesis, tengan lo que tengan, salvo que sea un solo número o variable. Y los numeradores también salvo que sea un solo factor.
Volviendo a donde estábamos. Entre que la gráfica de la inversa es simétrica respecto a y=x, que la derivadas son recíprocas y que los dominios se intercambian con los rangos se puede hacer un análisis bastante bueno de la función que no hemos podido despejar.
La forma convencional pasaría por despejar y. La ecuación de tercer grado es algo que raara vez se estudia por su complejidad. Suele acudirse a Ruffini si tiene raíces sencillas y a métodos de las cuerdas o Newton cuando no son enteras.
(2y)( x²-y²)= x²
2(x^2)y - 2y^3 - x^2 = 0
y^3 - (x^2)y + (x^2)/2 = 0
Llamemos a =x^2 para simplificar escritura.
y^3 - ay + a/2 = 0
hacemos el cambio de variable y = u + v
(u+v)^3 - a(u+v) + a/2 =0
u^3+ 3(u^2)v + 3u(v^2) + v^3 - au - av + a/2 = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + 3u(uv+v^2) - a(u+v) = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + 3uv(u+v) - a(u+v) = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + (3uv-a)(u-v) = 0
Hemos añadido una variable adicional en el cambio y = u+v. Por ello, podemos añadir ahora una condición que deban cumplir u y v a nuestra conveniencia. Y esta es que se cumpla:
3uv-a = 0
Con lo cual la ecuación quedaría:
u^3 + v^3 + a/2 = 0
Ahora hacemos los cambios
U = u^3 y V = v^3
Tendremos U+V = -a/2
Por otra parte si tomamos la condición de arriba:
3uv - a = 0
3uv = a Elevamos al cubo
27(u^3)(v^3) = a^3
27UV = a^3
UV = (a^3)/27
Te sonara que en la ecución de segundo grado el coeficiente c es el producto de las raíces y el coeficiente b es la suma de las raíces con signo menos. Pues hemos hallado ese producto y suma para U y V. Es decir que U y V son las raíces de esta ecuación auxiliar en t
t^2 - (-a/2)t + (a^3)/27 = 0
t^2 +(a/2)t + (a^3)/27 = 0
que pasamos a resolver
t = (-a/2 +- sqrt[(a/2)^2 - 4(a^3)/27]) / 2
t = [-a/2 +- a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
Como las raíces eran U y V tenemos
U = [-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
V = [-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
Ahora
u = ([-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
v = ([-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
y como y = u+v tenemos
y =([-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3) + ([-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
Finalmente cambiamos a por x^2
y = ([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + ([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Si hacemos la gráfica de esto nos daremos cuenta que solo tendremos una mínima parte, la correspondiente a este en el intervalo de x [-sqrt(27/16), sqrt(27/16)]. Porque fuera de el los radicandos de la fórmula se hacen negativos. Sin embargo, si hacemos la gráfica de la función implícita tendremos ni más ni menos que tres valores de y para cada x fuera de ese intervalo. Eso nos sugiere que debemos usar esa fórmula con números complejos y también las otras dos raíces complejas a primera vista, porque van a dar resultados reales.
Esas otras dos raíces son:
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Y aquí lo dejo, ya he llegado bastante lejos. Como puedes ver el procedimiento convencional ha salido enormemente complicadado y el de la función inversa es mucho mejor en este caso.
Por si te ayuda te adjunto un gráfico tanto de la función implícita como de las dos inversas. Qué suerte que ahora los ordenadores hagan estas cosas.
En rojo y rosa las inversa, que reflejándolas en la recta x nos darían la original que está en azul.
Y es todo lo que puedo hacer. Espero que lo hallas entendido, aunque utilidad ya te digo que poca porque las diversas funciones "y" despejadas son inmanejables y se impone el método de la inversa.
Una cosa te agradecería. Deja de usar la v para la raíz cuadrada, y mucho menos si después no pones un paréntesis indicando hasta donde llega la raíz. Cuando en un programa de ordenador de programación general o de gráficas tengas que expresar una función tendrás que usar sqrt(x) o sqr(x) en algunos. También puedes usar x^(1/2), pero nunca la uve.
Acostumbra también a poner los denominadores siempre entre paréntesis, tengan lo que tengan, salvo que sea un solo número o variable. Y los numeradores también salvo que sea un solo factor.
Volviendo a donde estábamos. Entre que la gráfica de la inversa es simétrica respecto a y=x, que la derivadas son recíprocas y que los dominios se intercambian con los rangos se puede hacer un análisis bastante bueno de la función que no hemos podido despejar.
La forma convencional pasaría por despejar y. La ecuación de tercer grado es algo que raara vez se estudia por su complejidad. Suele acudirse a Ruffini si tiene raíces sencillas y a métodos de las cuerdas o Newton cuando no son enteras.
(2y)( x²-y²)= x²
2(x^2)y - 2y^3 - x^2 = 0
y^3 - (x^2)y + (x^2)/2 = 0
Llamemos a =x^2 para simplificar escritura.
y^3 - ay + a/2 = 0
hacemos el cambio de variable y = u + v
(u+v)^3 - a(u+v) + a/2 =0
u^3+ 3(u^2)v + 3u(v^2) + v^3 - au - av + a/2 = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + 3u(uv+v^2) - a(u+v) = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + 3uv(u+v) - a(u+v) = 0
(u^3 + v^3 + a/2) + (3uv-a)(u-v) = 0
Hemos añadido una variable adicional en el cambio y = u+v. Por ello, podemos añadir ahora una condición que deban cumplir u y v a nuestra conveniencia. Y esta es que se cumpla:
3uv-a = 0
Con lo cual la ecuación quedaría:
u^3 + v^3 + a/2 = 0
Ahora hacemos los cambios
U = u^3 y V = v^3
Tendremos U+V = -a/2
Por otra parte si tomamos la condición de arriba:
3uv - a = 0
3uv = a Elevamos al cubo
27(u^3)(v^3) = a^3
27UV = a^3
UV = (a^3)/27
Te sonara que en la ecución de segundo grado el coeficiente c es el producto de las raíces y el coeficiente b es la suma de las raíces con signo menos. Pues hemos hallado ese producto y suma para U y V. Es decir que U y V son las raíces de esta ecuación auxiliar en t
t^2 - (-a/2)t + (a^3)/27 = 0
t^2 +(a/2)t + (a^3)/27 = 0
que pasamos a resolver
t = (-a/2 +- sqrt[(a/2)^2 - 4(a^3)/27]) / 2
t = [-a/2 +- a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
Como las raíces eran U y V tenemos
U = [-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
V = [-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2
Ahora
u = ([-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
v = ([-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
y como y = u+v tenemos
y =([-a/2 + a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3) + ([-a/2 - a·sqrt(1/4 - 4a/27)] / 2)^(1/3)
Finalmente cambiamos a por x^2
y = ([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + ([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Si hacemos la gráfica de esto nos daremos cuenta que solo tendremos una mínima parte, la correspondiente a este en el intervalo de x [-sqrt(27/16), sqrt(27/16)]. Porque fuera de el los radicandos de la fórmula se hacen negativos. Sin embargo, si hacemos la gráfica de la función implícita tendremos ni más ni menos que tres valores de y para cada x fuera de ese intervalo. Eso nos sugiere que debemos usar esa fórmula con números complejos y también las otras dos raíces complejas a primera vista, porque van a dar resultados reales.
Esas otras dos raíces son:
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Y aquí lo dejo, ya he llegado bastante lejos. Como puedes ver el procedimiento convencional ha salido enormemente complicadado y el de la función inversa es mucho mejor en este caso.
Por si te ayuda te adjunto un gráfico tanto de la función implícita como de las dos inversas. Qué suerte que ahora los ordenadores hagan estas cosas.
En rojo y rosa las inversa, que reflejándolas en la recta x nos darían la original que está en azul.
Y es todo lo que puedo hacer. Espero que lo hallas entendido, aunque utilidad ya te digo que poca porque las diversas funciones "y" despejadas son inmanejables y se impone el método de la inversa.
Gracias por el halago, si en un momento de pensar en como resolver se me prendió el foco y trabajé con mi teoría.
También por el consejo, me iré acostumbrando a usar los códigos para los ordenadores y también para preguntar.
Buena tu explicación, también la claridad de la gráfica, pero aun tengo algunas inquietudes.
¿Qué quieres de decir acerca de que las derivadas son reciprocas, te refieres al producto entre ambas es =1?
Bien, en tu razonamiento de emplear esos cambios de variables;tu has elegido y=u+v, obteniendo asi 2 variables que dependen de los valores de¨y¨. De la ecuación: (u^3 + v^3 + a/2) + (3uv-a)(u+v) = 0 , una solución mas conveniente sería (3uv-a)=0 entonces (u^3 + v^3 + a/2)= 0 acaso no se podría tomar otras soluciones o sí.¿por que?
Tambien estendi que una funcion implicita es aquella que solo admite ciertos valores en una region R^2 entonces ¿la funcion de una circunferencia sería una implícita?
La ultima parte donde:
y = ([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + ([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Si trabajamos en el campo de los números complejos tu me dices que obtienes 2 raíces más, las cuales son:
y1 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
He observado que empleas las raíces cúbicas de uno que son:1, (w) y (w^2) . En esas 2 últimas soluciones estas alternando el (w) y (w^2), yo quisiera saber si ¿puedo reemplazar obtener 2 soluciones extras?:
y3= (w)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (w)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y4= (w^2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (w^2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Un saludo.
También por el consejo, me iré acostumbrando a usar los códigos para los ordenadores y también para preguntar.
Buena tu explicación, también la claridad de la gráfica, pero aun tengo algunas inquietudes.
¿Qué quieres de decir acerca de que las derivadas son reciprocas, te refieres al producto entre ambas es =1?
Bien, en tu razonamiento de emplear esos cambios de variables;tu has elegido y=u+v, obteniendo asi 2 variables que dependen de los valores de¨y¨. De la ecuación: (u^3 + v^3 + a/2) + (3uv-a)(u+v) = 0 , una solución mas conveniente sería (3uv-a)=0 entonces (u^3 + v^3 + a/2)= 0 acaso no se podría tomar otras soluciones o sí.¿por que?
Tambien estendi que una funcion implicita es aquella que solo admite ciertos valores en una region R^2 entonces ¿la funcion de una circunferencia sería una implícita?
La ultima parte donde:
y = ([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + ([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Si trabajamos en el campo de los números complejos tu me dices que obtienes 2 raíces más, las cuales son:
y1 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y2 =(-1/2 + i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (-1/2 - i·sqrt(3)/2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
He observado que empleas las raíces cúbicas de uno que son:1, (w) y (w^2) . En esas 2 últimas soluciones estas alternando el (w) y (w^2), yo quisiera saber si ¿puedo reemplazar obtener 2 soluciones extras?:
y3= (w)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (w)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
y4= (w^2)·([-(x^2)/2 + (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3) + (w^2)·([-(x^2)/2 - (x^2)sqrt(1/4 - 4(x^2)/27)] / 2)^(1/3)
Un saludo.
En http://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo dice:
En matemática, el inverso multiplicativo, recíproco o inversa de un número por, es el número, denotado como 1/x ó por -1, que multiplicado por por da 1 como resultado.
Algunas veces uso inverso/a y otras recíproco/a con el mismo significado. Que es que el producto de la derivada de una función en un punto por la derivada de la inversa en ese mismo punto es 1.
Cuando la derivada sea 0 la derivada inversa no está definida y si la función es continua, derivable y cuanto haga falta, habrá una asíntota vertical en la función inversa. Todo esto se intuye por la simetría respecto a y=x
Sobre la resolución de la ecuación de tercer grado lo he tomado todo de
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Porque eso no se estudia ni aun en determinadas ramas de la carrera de matemáticas. He tenido que entenderlo primero para luego intentar transmitir.
El tomar u y v de forma que cumplan 3uv-a = 0 es el camino para que acabemos pudiendo despejar u y v. Si no se toman de esa forma no podremos avanzar en la resolución de la ecuación cúbica.
Si no entiendes esto de usar dos variables para sustituir a una, que a mí al principio tampoco me cuadraba mucho, puedes hacerlo con un cambio de variable por variable de esta forma:
y = u + a/3u
Y llegarás al mismo resultado porque estarás haciendo lo mismo. De hecho así lo hice yo la primera vez porque no me fiaba y parecía más directo en:
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/expert/questions/view/2669043/inversa-de-f-x-x-3-x
Una función implicita para una variable es la que se define la forma:
F(x, y) = 0
La explicita es la que nos dan de la forma:
y=f(x)
Algunas funciones implícitas pueden transformarse en explícitas. Es lo que estamos intentando con la de este problema pero ya ves lo complicado que es y que al final incluso tenemos que tomar funciones complejas para poder obtener resultados reales.
En otras funciones implícitas es completamente imposible despejar la y y hacerla explícita
y^2 + sen y - 5 = 0 por ejemplo.
La circunferencia si la damos como x^2 + y^2 - R^2 = 0 es implícita
si damos las ramas
y = sqrt(R^2 - x^2)
y = -sqrt(R^2 - x^2)
son explícitas.
Todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces por el teorema fundamental del álgebra. Si el cuerpo de los coeficientes es R Siempre habrá una o tres reales, que pueden ser iguales o repetidas a voluntad. Si hay complejas serán dos y serán conjugadas, es decir de la forma: a+bi y a-bi
u y v eran las raíces cúbicas de U y V
Recuerda que 3uv - a = 0 donde a = x^2 es un numero real
3uv = x^2
Uv = (x^2)/2 que sigo recordando que es un numero real
Si tomaras las raíces cúbicas wu y wv tendrías que su producto sería
(w^2)uv que es un número estrictamente complejo que forma 240º luego no sería real
Igualmente si tomaras (w^2)u y ^(w^2)v el producto sería
(w^4)uv que es también complejo con ángulo 120º
Por eso las soluciones válidas para polinomios en en el cuerpo real son estas tres
u+v
wu + (w^2)v
(w^2)u + wv
Y las soluciones que llamas y3 e y4 no sirven al basarse en raíces cúbicas de U y V que no cumplen 3uv - a = 0 que permitía la simplificación en la que se basaba todo el razonamiento posterior.
Ya te decía que no continuaba con el problema porque como veía que era inviable graficar por el método que llamabas uno no merecía la pena seguir. Por eso no había descendido a estos detalles.
De acuerdo con la gráfica obtenida por winplot tenemos lo siguiente:
La solución y da valores reales en todo x
Las soluciones y2 e y3 dan valores complejos en [-sqrt(27/16), sqrt(27/16)] y reales en el resto.
Unas operaciones con números complejos te podrían demostrar esto, pero aquí si que me planto ya.
En matemática, el inverso multiplicativo, recíproco o inversa de un número por, es el número, denotado como 1/x ó por -1, que multiplicado por por da 1 como resultado.
Algunas veces uso inverso/a y otras recíproco/a con el mismo significado. Que es que el producto de la derivada de una función en un punto por la derivada de la inversa en ese mismo punto es 1.
Cuando la derivada sea 0 la derivada inversa no está definida y si la función es continua, derivable y cuanto haga falta, habrá una asíntota vertical en la función inversa. Todo esto se intuye por la simetría respecto a y=x
Sobre la resolución de la ecuación de tercer grado lo he tomado todo de
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
Porque eso no se estudia ni aun en determinadas ramas de la carrera de matemáticas. He tenido que entenderlo primero para luego intentar transmitir.
El tomar u y v de forma que cumplan 3uv-a = 0 es el camino para que acabemos pudiendo despejar u y v. Si no se toman de esa forma no podremos avanzar en la resolución de la ecuación cúbica.
Si no entiendes esto de usar dos variables para sustituir a una, que a mí al principio tampoco me cuadraba mucho, puedes hacerlo con un cambio de variable por variable de esta forma:
y = u + a/3u
Y llegarás al mismo resultado porque estarás haciendo lo mismo. De hecho así lo hice yo la primera vez porque no me fiaba y parecía más directo en:
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/expert/questions/view/2669043/inversa-de-f-x-x-3-x
Una función implicita para una variable es la que se define la forma:
F(x, y) = 0
La explicita es la que nos dan de la forma:
y=f(x)
Algunas funciones implícitas pueden transformarse en explícitas. Es lo que estamos intentando con la de este problema pero ya ves lo complicado que es y que al final incluso tenemos que tomar funciones complejas para poder obtener resultados reales.
En otras funciones implícitas es completamente imposible despejar la y y hacerla explícita
y^2 + sen y - 5 = 0 por ejemplo.
La circunferencia si la damos como x^2 + y^2 - R^2 = 0 es implícita
si damos las ramas
y = sqrt(R^2 - x^2)
y = -sqrt(R^2 - x^2)
son explícitas.
Todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces por el teorema fundamental del álgebra. Si el cuerpo de los coeficientes es R Siempre habrá una o tres reales, que pueden ser iguales o repetidas a voluntad. Si hay complejas serán dos y serán conjugadas, es decir de la forma: a+bi y a-bi
u y v eran las raíces cúbicas de U y V
Recuerda que 3uv - a = 0 donde a = x^2 es un numero real
3uv = x^2
Uv = (x^2)/2 que sigo recordando que es un numero real
Si tomaras las raíces cúbicas wu y wv tendrías que su producto sería
(w^2)uv que es un número estrictamente complejo que forma 240º luego no sería real
Igualmente si tomaras (w^2)u y ^(w^2)v el producto sería
(w^4)uv que es también complejo con ángulo 120º
Por eso las soluciones válidas para polinomios en en el cuerpo real son estas tres
u+v
wu + (w^2)v
(w^2)u + wv
Y las soluciones que llamas y3 e y4 no sirven al basarse en raíces cúbicas de U y V que no cumplen 3uv - a = 0 que permitía la simplificación en la que se basaba todo el razonamiento posterior.
Ya te decía que no continuaba con el problema porque como veía que era inviable graficar por el método que llamabas uno no merecía la pena seguir. Por eso no había descendido a estos detalles.
De acuerdo con la gráfica obtenida por winplot tenemos lo siguiente:
La solución y da valores reales en todo x
Las soluciones y2 e y3 dan valores complejos en [-sqrt(27/16), sqrt(27/16)] y reales en el resto.
Unas operaciones con números complejos te podrían demostrar esto, pero aquí si que me planto ya.