División entre dos polinomios

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Usuario
Necesito que me expliques como resolver estas divisiones entre dos polinomios p(x) y q(x) y entre r(x) y s(x), por favor, te lo voy a agradecer.

p(x)= x^4 + 2.x^3 - x^2 + x - 2

q(x)= x^2 + 1



r(x)= x^5 + x^3 + 1

s(x)= x^2 + 1
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Experto
¡Hola !

Lo malo es que en este editor no se puede hacer nada, solo sirve para escribir línea tras línea. El algoritmo es similar al de la división entre números, solo que lo que se divide, multiplica, suma o resta son monomios. Vamos a ver que tal sale.

Sea x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 entre x^2 + 1

Tomaremos los monomios de mayor grado en el dividendo y el divisor, que son

x^4 en el dividendo y x^2 en el divisor.

Los dividimos x^4 / x^2 = x^2

Ese x^2 ira al cociente. Ahora multiplicamos ese x^2 por el divisor y se lo restamos al dividendo

x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2

x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 - (x^4 + x^2) = x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 - x^4 - x^2 =

2x^3 - 2x^2 + x - 2

Ya hemos completado el primer paso. Ahora se repite con el resto que nos ha quedado ya así hasta que el grado del resto es menor que el del divisor

Los monomios de más grado son 2x^3 en dividendo y x^2 en divisor

2x^3 / x^2 = 2x que se añade al cociente

2x (x^2 + 1) = 2x^3 + 2x que se resta del resto del dividendo.

2x^3 - 2x^2 + x - 2 - (2x^3 + 2x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 2 - 2x^3 - 2x =

-2x^2 - x - 2

Ahora el tercer paso

dividimos -2x^2 / x^2 = -2 que se añade al cociente

-2(x^2+1) = -2x^2 -2 lo restamos del dividendo

-2x^2 - x - 2 - (-2x^2 -2) =-2x^2 - x - 2 + 2x^2 + 2 = x

Ya tenemos menor grado en el resto que en el divisor luego se acabó.

Recopilamos el cociente, que si hubiéramos podido lo habríamos escrito todo seguido en un sitio fijo bajo el divisor.

El cociente es x^2 + 2x - 2 y el resto x


En una división normal podemos escribir:

dividendo = cociente x divisor + resto

Si dividimos por el divisor tendremos

Dividendo / divisor = cociente + resto/divisor


Y así expresaremos el resultado de la división:

(x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2) / (x^2 + 1) = x^2 + 2x - 2 + x / (x^2 + 1)

-----------

r(x)= x^5 + x^3 + 1
s(x)= x^2 + 1

Primer monomio del cociente x^5 / x^2 = x^3

x^3(x^2 + 1) = x^5 + x^3

x^5 + x^3 + 1 - (x^5 + x^3) = 1

Sorprendentemente ya tenemos el resto de grado cero, ya se acabó.

Cociente = x^3 y resto = 1

Y la expresión equivalente es:

(x^5 + x^3 + 1) / (x^2 + 1) = x^3 + 1/(x^2 + 1)



Y eso es todo. Ya te digo que haciéndolo en un papel sobre un lugar fijo y de forma similar a como una división es más sencillo y se ve claramente lo que se hace.

Si no tienes dudas puedes puntuar para cerra la pregunta .

Un saludo.



Usuario
Muchísimas gracias, la verdad que me aclaraste de excelente manera, el pequeño problemita, un beso grande, cualquier duda te molesto nuevamente, besos!