División entre dos polinomios

Necesito que me expliques como resolver estas divisiones entre dos polinomios p(x) y q(x) y entre r(x) y s(x), por favor, te lo voy a agradecer.
p(x)= x^4 + 2.x^3 - x^2 + x - 2
q(x)= x^2 + 1
r(x)= x^5 + x^3 + 1
s(x)= x^2 + 1

2 respuestas

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Respuesta de
¡Hola (xxxxxx)!
Lo malo es que en este editor no se puede hacer nada, solo sirve para escribir línea tras línea. El algoritmo es similar al de la división entre números, solo que lo que se divide, multiplica, suma o resta son monomios. Vamos a ver que tal sale.
Sea x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 entre x^2 + 1
Tomaremos los monomios de mayor grado en el dividendo y el divisor, que son
x^4 en el dividendo y x^2 en el divisor.
Los dividimos x^4 / x^2 = x^2
Ese x^2 ira al cociente. Ahora multiplicamos ese x^2 por el divisor y se lo restamos al dividendo
x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2
x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 - (x^4 + x^2) = x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2 - x^4 - x^2 =
2x^3 - 2x^2 + x - 2
Ya hemos completado el primer paso. Ahora se repite con el resto que nos ha quedado ya así hasta que el grado del resto es menor que el del divisor
Los monomios de más grado son 2x^3 en dividendo y x^2 en divisor
2x^3 / x^2 = 2x que se añade al cociente
2x (x^2 + 1) = 2x^3 + 2x que se resta del resto del dividendo.
2x^3 - 2x^2 + x - 2 - (2x^3 + 2x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 2 - 2x^3 - 2x =
-2x^2 - x - 2
Ahora el tercer paso
dividimos -2x^2 / x^2 = -2 que se añade al cociente
-2(x^2+1) = -2x^2 -2 lo restamos del dividendo
-2x^2 - x - 2 - (-2x^2 -2) =-2x^2 - x - 2 + 2x^2 + 2 = x
Ya tenemos menor grado en el resto que en el divisor luego se acabó.
Recopilamos el cociente, que si hubiéramos podido lo habríamos escrito todo seguido en un sitio fijo bajo el divisor.
El cociente es x^2 + 2x - 2 y el resto x

En una división normal podemos escribir:
dividendo = cociente x divisor + resto
Si dividimos por el divisor tendremos
Dividendo / divisor = cociente + resto/divisor

Y así expresaremos el resultado de la división:
(x^4 + 2x^3 - x^2 + x - 2) / (x^2 + 1) = x^2 + 2x - 2 + x / (x^2 + 1)
-----------
r(x)= x^5 + x^3 + 1
s(x)= x^2 + 1
Primer monomio del cociente x^5 / x^2 = x^3
x^3(x^2 + 1) = x^5 + x^3
x^5 + x^3 + 1 - (x^5 + x^3) = 1
Sorprendentemente ya tenemos el resto de grado cero, ya se acabó.
Cociente = x^3 y resto = 1
Y la expresión equivalente es:
(x^5 + x^3 + 1) / (x^2 + 1) = x^3 + 1/(x^2 + 1)
Y eso es todo. Ya te digo que haciéndolo en un papel sobre un lugar fijo y de forma similar a como una división es más sencillo y se ve claramente lo que se hace.
Si no tienes dudas puedes puntuar para cerra la pregunta .
Un saludo.


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Respuesta de
Para poder dividir polinomios deben tener las mismas soluciones, los dos divisores son iguales y tienen soluciones i y -i (imaginarios) pero ni p(x) ni r(x) las tienen como soluciones, prueba sustituirlas en ambos polinomios y no te da cero, por lo que no puedes dividirlos.
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