Ejercicios de limites

Dnl yin!
a)
Confirmáme el primer límite pues no estoy seguro si quieres decir esto:
            3n
1  -  2        * 3
------------------
      n             n-2
   6     * (- 8)
-------------------------------
b)
Lo mismo. Escríbelo que pueda entenderlo.
Yo uso:
raiz cuadrada de x = sqrt(x)
Por ejemplo raíz cuadrada de ( 1 + raíz cuadrada de x)
Sería sqrt(1+sqrt(x))
Y así podré entenderlo.
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c)
Acudimos a la definición y tendremos
n(n-1)(n-2)(n-3)···2·1
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n·n·n····················n·n
Donde se ve claramente que el denominador es mucho mayor porque podemos tomar el límite como producto de estos pares
n/n , (n-1)/n, (n-2)/n, 2/n, 1/n
ysiempre predomina el denominador en cada uno.
Pero nos bastará con considerar el ultimo par, aun suponiendo que en los demás no tuviera ventaja el denominador con el ultimo ya basta para que el limité sea menor o igual que el de 1/n, o sea, cero.
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d)
Creo que lo que quieres decir es que se forma con sumas y restas alternativas y en cada paso se suma o resta lo anterior dividido por 10
1 - 0,1 + 0,01 - 0,001 + 0,0001 - 0,00001 + 0,000001
Es que entonces está mal el quinto término, donde pones 0,9191 tendría que ser 0,9091
Te adelanto que el límite va a ser 0,9090909090909...
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Pues eso, confírmame el a), escríbeme legible el b) y corrige si es necesario el d) y continuaré haciédolos.

¡Hola! ¡Gracias por responder tan rapido!
a) Usted lo entendió bien, era eso lo que quería decir.
b) es:           sqrt (n)
        -------------------------------------
        sqrt (n + sqrt (n + sqrt (n) ) )
Es así, no se si lo pondrá entender mejor ahora... espero que si.
c) ¡Gracias!
d) Yo llegue al mismo problema, pero así supuestamente es el conjunto, quizás sea un error del que hizo la guía de ejercicios, no lo sé.
Y eso seria, gracias de antemano.

a)
Tiene la particularidad del (-8)^(n-2). Esto va tomando valores positivos y negativos alternativamente y en muchas ocasiones puede hacer que no haya límite. VAmos a comprobarlo:
Como 2^(3n) = (2^3)^n = 8^n tendremos:
lim n->infinito de (1 - 3·8^n)/(6^n+(-8)^(n-2))
Dividamos por 8^(n-2) tanto numerador como denominador.
          1
       -------     -    3 · 8 · 8
          n-2
        8         
   ---------------------------------------
                            n-2
               |   6   |                     n-2
      36 ·   |  ---- |         +    (-1)
               |    8  |
Cuando n tiende a infinito 1/(8^(n-2)) y 36(6/8)^(n-2) tienden a cero y la expresión quedaría de esta forma
-(192)/[(-1)^(n-2)]
Que unas veces será 192 y otras -192 luego no existe el límite.
En conclusión no existe el límite, las tendencias son 192 con n par y -192 con n impar.
b) Para empezar tenemos que sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a/b) vamos a aplicarlo y queda
lim n --> infinito sqrt ( n / (n + sqrt(n+sqrt(n))))
Multiplicando numerador y denominador por n queda
lim n-->infinito sqrt (1 / (1+ sqrt(n+sqrt(n))/n))
La parte:
 sqrt(n+sqrt(n))
-------------------
         n
tiende a cero cuando n-->infinito y quedaria de la forma (1/1+0) = 1
Luego el límite de la expresión pedida es 1
d)
Entonces no es cierta la suposición de que eran sumas y restas alternas de 10^(-n+1) como apuntabas en el:
Note: 0,9 = 1 - 0,1       y     0,91= 1 - 0,1 + 0,01
Pues entonces la construcción de {1; 0,9: 0,91; 0,909; 0,9191
se puede expresar así y esta es su continuación:
{1; 0,90: 0,91; 0,9090; 0,9191; 0,909090; 0,919191; 0,90909090; 0,91919191
Es decir los pares se forman con noventas uno más cada vez y los impares con noventa y unos.
Y va tendiendo a dos cantidades cuya diferencia es 0,01010101 luego son distintas y no hay límite.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.

En la d) si había un error, en realidad es así:
{an}={1;0.9;0.91;0.909;0.9091;....}
Ahora si se puede hacer, ¿no?