Inducción
1.Demuestre que 2^n < n! Para todo entero positivo n >= 4
2.Demuestre que n^2 < n! Para todo entero positivo n >= 4
3.Demuestre que (2n)! < 2^(2n) (n!)^2 para todo entero positivo n.
4.Demuestre que si h >= -, entonces 1 +nh <= (1+)^n para todo entero no negativo n
2.Demuestre que n^2 < n! Para todo entero positivo n >= 4
3.Demuestre que (2n)! < 2^(2n) (n!)^2 para todo entero positivo n.
4.Demuestre que si h >= -, entonces 1 +nh <= (1+)^n para todo entero no negativo n
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
1)
En efecto tomamos n = 4 y tenemos
2^4=16
4! = 24
Y a partir de ahí aun se va a ahondar la distancia porque en cada paso "n" multiplicaremos lo anterior por 2 en 2^n mientras que en el factorial multiplicaremos por n que es mayor que 2.
2)
Comprobamos de nuevo en el 4
4^2 = 16
4!=24
En cada paso n que demos a partir de aquí en la potencia vamos a hacer lo siguiente
n^2 = ((n-1)+1)^2 = (n-1)^2 + 2(n-1) + 1
Es decir, que respecto al valor anterior que es
(n-1)^2 = (n-1) veces (n-1)
añadimos una pequeña cantidad
2(n-1) + 1 = 2 veces (n-1) + 1
Que ni siquiera va a conseguir que doblemos el valor. Mientras que en el factorial multiplicaremos por 5, 6, 7, etc en cada paso.
3)
No lo entiendo, no sé cual es el orden exacto de las operaciones del segundo miembro. ¿De todas formas parece muy complicado, no?
4) Falta algún carácter, peo creo que quieres decir que con h positivo
1+nh <=(1+h)^n
En efecto, hagamos el binomio de Newton del segundo miembro
(1+h)^n = 1 + (n sobre 1)·h + (n sobre 2)·h^2 + .....=
= 1 + nh + (n sobre 2) h^2 + ...
Luego
1+ nh <= 1 + nh + (n sobre 2) h^2 +... =(1+h)^n
Y eso es todo. Si me explicas bien el ejercicio 3 podré resolverlo, sino no te olvides de puntuar y cerrar la pregunta.
En efecto tomamos n = 4 y tenemos
2^4=16
4! = 24
Y a partir de ahí aun se va a ahondar la distancia porque en cada paso "n" multiplicaremos lo anterior por 2 en 2^n mientras que en el factorial multiplicaremos por n que es mayor que 2.
2)
Comprobamos de nuevo en el 4
4^2 = 16
4!=24
En cada paso n que demos a partir de aquí en la potencia vamos a hacer lo siguiente
n^2 = ((n-1)+1)^2 = (n-1)^2 + 2(n-1) + 1
Es decir, que respecto al valor anterior que es
(n-1)^2 = (n-1) veces (n-1)
añadimos una pequeña cantidad
2(n-1) + 1 = 2 veces (n-1) + 1
Que ni siquiera va a conseguir que doblemos el valor. Mientras que en el factorial multiplicaremos por 5, 6, 7, etc en cada paso.
3)
No lo entiendo, no sé cual es el orden exacto de las operaciones del segundo miembro. ¿De todas formas parece muy complicado, no?
4) Falta algún carácter, peo creo que quieres decir que con h positivo
1+nh <=(1+h)^n
En efecto, hagamos el binomio de Newton del segundo miembro
(1+h)^n = 1 + (n sobre 1)·h + (n sobre 2)·h^2 + .....=
= 1 + nh + (n sobre 2) h^2 + ...
Luego
1+ nh <= 1 + nh + (n sobre 2) h^2 +... =(1+h)^n
Y eso es todo. Si me explicas bien el ejercicio 3 podré resolverlo, sino no te olvides de puntuar y cerrar la pregunta.
3.Demuestre que (2n)! < (2^(2n)) (n!)^2 para todo entero positivo n.
Bueno en este es en letras para que le lleves el hilo y no te pierdas al elevar : dos n factorial es menor que dos a la dos n, por n factorial al cuadrado para todo entero positivo n.
Bueno en este es en letras para que le lleves el hilo y no te pierdas al elevar : dos n factorial es menor que dos a la dos n, por n factorial al cuadrado para todo entero positivo n.
(2n)! < (2^(2n))(n!)^2
Hagamos algunos arreglos
(2n)!/((n!)^2) < (2)^(2n)
(2n)! / (n!)(n!) < (1+1)^(2n)
La parte de la izquierda concuerda exactamente con lo que se llama el número combinatorio 2n sobre "n" y en la derecha podemos desarrollar el binomio de Newton
(2n sobre n) < 1+ (2n sobre 1) +(2n sobre 2)+....+(2n sobre n)+...+(2n sobre 2n)
En efecto la parte izquierda está incluida en la derecha y en la derecha hay muchos más sumandos aparte, luego es cierta la desigualdad.
Y ahora creo que si está hecho todo. Espero que te sirva. No olvides puntuar y cerrar.
Hagamos algunos arreglos
(2n)!/((n!)^2) < (2)^(2n)
(2n)! / (n!)(n!) < (1+1)^(2n)
La parte de la izquierda concuerda exactamente con lo que se llama el número combinatorio 2n sobre "n" y en la derecha podemos desarrollar el binomio de Newton
(2n sobre n) < 1+ (2n sobre 1) +(2n sobre 2)+....+(2n sobre n)+...+(2n sobre 2n)
En efecto la parte izquierda está incluida en la derecha y en la derecha hay muchos más sumandos aparte, luego es cierta la desigualdad.
Y ahora creo que si está hecho todo. Espero que te sirva. No olvides puntuar y cerrar.
