Ejercicio producto escalar
Sean A y B (matrices de igual tamaño "n" y cuadradas). Supongamos que A es simétrica y no singular y que B es antisimétrica, verificando además que AB=BA. Sea <> el producto escalar usual en R^n.
a) Probar que para todo por e y pertenecientes a R^n, <Ax,By>= -<Ay,Bx> . Deducir de ello que, para todo por perteneciente a R^n entonces <Ax,Bx> = 0.
b) Probar que A+B y A-B son matrices no singulares y que Norma de (A+B)x = Norma (A-B)x
Para todo por perteneciente a R^n.
Por favor, necesito ayuda con este ejercicio no sé por donde pillarlo, he intentado muchas cosas pero no me da, aunque no se sepa la resolución también agradezco ideas.
a) Probar que para todo por e y pertenecientes a R^n, <Ax,By>= -<Ay,Bx> . Deducir de ello que, para todo por perteneciente a R^n entonces <Ax,Bx> = 0.
b) Probar que A+B y A-B son matrices no singulares y que Norma de (A+B)x = Norma (A-B)x
Para todo por perteneciente a R^n.
Por favor, necesito ayuda con este ejercicio no sé por donde pillarlo, he intentado muchas cosas pero no me da, aunque no se sepa la resolución también agradezco ideas.
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Antes que nada desgranamos los elementos y propiedades que define el enunciado del ejercicio.
1-Tenemos dos matrices A y B de tamaño nxn (cuadradas)
2-A es simétrica, es decir los elementos de la matriz cumplen: A(i, j)=A(j, i)
3-A es no singular, que es lo mismo que decir que su determinante es distinto de cero y existe la matriz inversa de A.
4-B es antisimétrica, es decir, los elementos de la matriz cumplen: B(i, j)=-B(j, i)
5- Se verifica que AB=BA, esto es que A y B conmutan o permutan entre sí.
Se considera además el producto escalar usual en el espacio vectorial "euclídeo" R^n, al que llamaré "V". Esto es que en el espacio vectorial (con toda la axiomática) además definimos el concepto de distantcia y ángulo de dos vectores mediante el producto escalar de dos vectores.
Como sabes, el producto escalar es una aplicación lineal tal que a cada par de vectores del espacio vectorial V le asigna un escalar. En este caso el cuerpo del espacio vectorial es el de los reales, entonces este escalar será un real.
VxV--->R
De esto deducimos que un producto escalar en un espacio vectorial V es cualquier aplicación bilineal, simétrica y definida positiva.
Ahora debemos distinguir entre el producto escalar usual según sean dos vectores <x,y> o dos matrices <A,B>.
La expresión del producto escalar usual de dos vectores es la siguiente <x,y>=(X^T)·G·Y donde X^T es el vector x fila, G es la matriz métrica del producto usual y Y es el vector y columna. En este caso por ser el producto escalar usual G será la matriz identidad.
La expresión del producto escalar usual de dos matrices es la siguiente <A,B>=traza (AB^T), esto es, la suma del producto de los elementos de la diagonal de A con los de la diagonal de B^T, que es la matriz B traspuesta.
Una vez aclarado el enunciado y con los conceptos claros comenzamos el ejercicio:
a) Declara un x(x1, x2,..., xn) y y(y1, y2,..., yn) pertenecientes al espacio vecotrial V tal que el producto vectorial Ax·By=-(Ay·Bx) y nos pide deducir que el producto vectorial Ax·Bx=0.
Según las propiedades descritas en el enunciado (me refiero a las propiedades de las matrices Ab=BA y sus características) y la relación Ax·By=-(Ay·Bx) llegamos a la conclusión de la ortogonalidad de Ax y Bx, esto es, son vectores perpendiculares, y es por esto por lo que el producto escalar de estos vectores es nulo. (Yo lo hice de un caso particular R^3 y después lo generalicé para R^n)
b) Te pide que pruebes que la suma y la resta de estas matrices dan lugar a matrices no singulares, esto es fácil, solo tienes que tener en cuenta que una matriz no singular es aquella que tiene inversa, o que su determinante es distinto de 0. Con tal de que pruebes una de las dos condiciones habrás conseguido demostrar la no singularidad de estas matrices.
Ahora entra con la norma, que no es más que la raíz cuadrada del producto escalar usual de esos vectores. Es fácil si lo haces en R^3 y después lo abstraes al caso general. Debes hacer: Raíz cuadrada ( [(A-B)x] ·[(A-B)x] )= Raíz cudrada ( [(A+B)x]·[(A+B)x] )
Por cuestiones de tiempo no puedo exponerte el procedimiento, no obstante explicado lo anterior es algo trivial.
1-Tenemos dos matrices A y B de tamaño nxn (cuadradas)
2-A es simétrica, es decir los elementos de la matriz cumplen: A(i, j)=A(j, i)
3-A es no singular, que es lo mismo que decir que su determinante es distinto de cero y existe la matriz inversa de A.
4-B es antisimétrica, es decir, los elementos de la matriz cumplen: B(i, j)=-B(j, i)
5- Se verifica que AB=BA, esto es que A y B conmutan o permutan entre sí.
Se considera además el producto escalar usual en el espacio vectorial "euclídeo" R^n, al que llamaré "V". Esto es que en el espacio vectorial (con toda la axiomática) además definimos el concepto de distantcia y ángulo de dos vectores mediante el producto escalar de dos vectores.
Como sabes, el producto escalar es una aplicación lineal tal que a cada par de vectores del espacio vectorial V le asigna un escalar. En este caso el cuerpo del espacio vectorial es el de los reales, entonces este escalar será un real.
VxV--->R
De esto deducimos que un producto escalar en un espacio vectorial V es cualquier aplicación bilineal, simétrica y definida positiva.
Ahora debemos distinguir entre el producto escalar usual según sean dos vectores <x,y> o dos matrices <A,B>.
La expresión del producto escalar usual de dos vectores es la siguiente <x,y>=(X^T)·G·Y donde X^T es el vector x fila, G es la matriz métrica del producto usual y Y es el vector y columna. En este caso por ser el producto escalar usual G será la matriz identidad.
La expresión del producto escalar usual de dos matrices es la siguiente <A,B>=traza (AB^T), esto es, la suma del producto de los elementos de la diagonal de A con los de la diagonal de B^T, que es la matriz B traspuesta.
Una vez aclarado el enunciado y con los conceptos claros comenzamos el ejercicio:
a) Declara un x(x1, x2,..., xn) y y(y1, y2,..., yn) pertenecientes al espacio vecotrial V tal que el producto vectorial Ax·By=-(Ay·Bx) y nos pide deducir que el producto vectorial Ax·Bx=0.
Según las propiedades descritas en el enunciado (me refiero a las propiedades de las matrices Ab=BA y sus características) y la relación Ax·By=-(Ay·Bx) llegamos a la conclusión de la ortogonalidad de Ax y Bx, esto es, son vectores perpendiculares, y es por esto por lo que el producto escalar de estos vectores es nulo. (Yo lo hice de un caso particular R^3 y después lo generalicé para R^n)
b) Te pide que pruebes que la suma y la resta de estas matrices dan lugar a matrices no singulares, esto es fácil, solo tienes que tener en cuenta que una matriz no singular es aquella que tiene inversa, o que su determinante es distinto de 0. Con tal de que pruebes una de las dos condiciones habrás conseguido demostrar la no singularidad de estas matrices.
Ahora entra con la norma, que no es más que la raíz cuadrada del producto escalar usual de esos vectores. Es fácil si lo haces en R^3 y después lo abstraes al caso general. Debes hacer: Raíz cuadrada ( [(A-B)x] ·[(A-B)x] )= Raíz cudrada ( [(A+B)x]·[(A+B)x] )
Por cuestiones de tiempo no puedo exponerte el procedimiento, no obstante explicado lo anterior es algo trivial.