Subespacio vectorial

Respuesta de
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Usuario
Quiero hallar la base del subespacio vectorial de elementos (x,y,z) que tiene las ecuaciones x+2y=0, y-z=0, x+2z=0.
Es muy importante uns respuesta rápida.
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Experto
Hola,
Al decir que es un subespacio de elementos (x, y, z) supongo que quieres decir que se trata de un subespacio vectorial del espacio vectorial de dimensión 3 formado por los vectores de la forma (x, y, z).
En este caso lo que tenemos son las ecuaciones con las condiciones que deben cumplir los elementos de ese subespacio.
x+2y=0, y-z=0, x+2z=0.
Estas ecuaciones forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se trata de un sistema homogéneo pues todas las ecuaciones están igualadas a cero. Este tipo de sistemas siempre tienen solución, al menos la solución x=0, y=0, z=0,
Nos interesan otras soluciones distintas de esa.
Haciendo la matriz de coeficientes del sistema y aplicando Gauss se ve que la última ecuación es linealmente dependiente de las anteriores y que las dos primeras son linealmente independientes.
Por tanto las ecuaciones que realmente definen el subespacio son:
x+2y=0, y-z=0.
Estas ecuaciones forman un sistema compatible indeterminado con más incógnitas que ecuaciones.
Como son 2 ecuaciones y 3 incógnitas hay una incógnita que será independiente. Hay que dejar las otras incógnitas en función de ella.
Se puede tomar cualquiera para este papel. En este caso tomamos z independiente.
Las otras dos incógnitas se expresan en función de z, obteniendo:
y=z, x=-2y=-2z.
Entonces dándole a z el valor 1, se obtiene y=1 y x=-2.
Estos valores forman el vector (x, y, z) = (-2,1,1) que constituye la base del subespacio vectorial pedido.
Si necesitas más aclaraciones no dudes en preguntar.
Saludos.
Bocasmar
Usuario
Muchas gracias. Respuesta muy completa que explica muy bien todo el calculo.