¿Cualquier curva una función?

Una función, por definición, hace corresponder a cada elemento del dominio
uno (existencia) y solo un elemento (unicidad) del codominio.
Si no cumple con la unicidad no es función.
Solo son función las curvas que dibujes de forma tal no se corte más de una vez con cada recta paralele al ejes de ordenadas
Por ejemplo, una curva con forma de circunferencia no es una función.
Lo que sí se puede hacer es dividir la curva en dos o más ramas que cumplan con la condición.
Veamos otro caso: la raíz cuadrada .
Un numero real positivo por ejemplo 4 tiene dos raíces cuadradas, dos y menos dos. Entonces y igual a la raíz cuadrada de por no es función. Si convenimos en tomar la raíz como positiva entonces
y = Raíz[x] es una función
La otra rama seria
y = -Raíz[x] (otra función)
Por supuesto que aquí el dominio hay que limitarlo a los reales positivos, porque si no, no se cumple con la existencia.
Otro ejemplo:
Puedes imaginarte un auto que avanza por un camino. Te fijas en la distancia recorrida por el auto y la vas poniendo en una gráfica en función del tiempo. Si para un tiempo dado cortas dos veces la gráfica significa que el auto está en dos lugares al mismo tiempo lo cual es imposible. Es que la distancia recorrida es función del tiempo se ve claramente que la unicidad es parte importante de la definición de función.
Ojo: a veces se habla de funciones con varios valores o funciones con varias ramas (como la raíz cuadrada ) pero en realidad no forman una función sino varias funciones de un mismo grupo.
Resumiendo entonces: Solo las curvas que por así decirlo no tienen vueltas y que son cortadas solo una vez por la verticales (paraleles a y) son función.
¿Cómo haces entonces para describir una curva cualquiera?
Las paramétricas :
Si quieres describir una curva cualquiera lo haces en forma paramétrica.
Es ese caso hay un parámetro t y dos funciones X=X(t) e Y=Y(t).
Así puedes describir en forma paramétrica curvas de cualquier forma pero ATENCIÓN
No se trata de una función y=y(x) sino que tenemos dos funciones X(t) e Y(t) del parámetro t.( las paramétricas no son "una" función) Y(x))
Una actividad interesante es tomar distintas funciones X(t) e Y(t). Dibujas un sistema de coordenadas y vas dando valores a t . Por cada valor de t obtienes un X y un Y .Ese punto (x, y) lo macas en el gráfico. Luego eliges otro t y obtienes otro punto. Así el gráfico se va poblando de puntos que forman una curva.
Con funciones trigonométricas salen curvas muy vistosas.
Prueba por ejemplo:
X(t)= seno(3x)
Y(t)=seno(2x)
Tipos de funciones:
Las que mencionas trigonométricas, polinómicas, exponenciales, logarítmicas son las más comunes. Son importantes también las racionales que son cocientes de polinomios. ¿Cuáles más? Infinitas más ya que hay infinitas formas de crear funciones sin que sean ni polinómicas ni logarítmicas ni nada. Los matemáticos imaginan permanentemente nuevas formas de definir funciones.

Voy a aclarar un poco mejor la ultima parte de tu pregunta:
¿Hay algún tipo de función que no cumpla con la unicidad y se pueda definir?
No, no sería función
¿Cualquier figura bidimensional (gráficas continuas y suaves) pueden ser expresadas como función?
No como función, sino como sistema de ecuaciones paramétricas de un parámetro t.
Si las funciones son continuas la curva sera continua.
Si las funciones son derivables la curva sera suave.
Etc
¿Cómo se hace?
Depende de cada caso. Si al curva esta dada por reglas geométricas hay que estudiar esas reglas buscando llegar a una función.
Por ejemplo la circunferencia se define como los puntos que equidistan del centro. Aplicando el teorema de Pitágroras se llega a la ecuación de la circunferencia pero atención es una ecuación, no una función.
Lo mismo pasa con la epipse, la parábola, etc, etc.
Cada caso es una historia aparte.

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Hola Hola