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Ese alternador esta mal, pero antes mide la resistencia entre el borne negativo y el bloque motor con el motor arrancado, si ves que es muy alta, colócale un cable nuevo de generosa sección, eso hará que el nuevo alternador te dure más.

¿Te refieres a este?

Las fugas de gas a veces son muy difíciles de ver, así que lo que creo que te pasa es que no tiene gas por una fuga. Llevalo otra vez al taller y que miren si tiene gas, es una prueba que con alguien que tenga experiencia lo sabe en 2 segundos o menos.

¿Estas seguro de que ese fiat es un 500 y es del año 2002?

Parece que es la batería. Para arrancarlo con otro coche te hace falta que los cables sean buenos y estar bien conectados, si lo hiciste bien y no arranca, puede ser que el motor de arranque se estropeara

Es un fallo muy común de esa marca y la solución que da la marca son tres: Un motor de arranque más potente. Una reprogramacion Fallo en sensor de fase o correa de distribución mal puesta.

¿Puedes subir una foto de la llave? ¿Le cambio el chip?

Es una bomba de freno, solo una. Lo normal es no cambiarlas nunca, duran igual que el coche. Exactamente que es lo que le pasa a los frenos.

Pues si, pueden ser de los cables.

Cuando un vehículo va circulando no se tiene que encender el ventilador, así que el fallo no es ese, el problema lo puedes tener en el radiador que esta atascado.