No puedo empadronarme, ¿Existe alguna alternativa?

He nacido y vivo en Madrid, actualmente tengo 25 años y está a mi cargo mi madre pensionista (el de viudedad) ya que no puede trabajar.

Nos es imposible alquilar un piso porque solo con mi nómina es difícil. A partir de enero no nos ha quedado de otra que irnos a vivir con una amiga siendo inquilina porque nos acoge mientras la ayudemos con los gastos de casa, residimos en una habitación.

El problema que hay es que el Ayuntamiento no deja que nos empadronemos porque en el contrato de alquiler de una amiga existe una cláusula que prohíbe la cesión parcial o subarriendo de la vivienda, obviamente, el propietario se negaría a conoceder el permiso si ella se lo consultase, ya bastante tiene con apoyarnos...

Ante esta situación, teniendo una madre con enfermedades cono lupus/diabrtes/hipertensión con constantes chequeos médicos, y en mi caso, buscando trabajo para compaginarlo a un máster (si me admiten) no tener el empadronamiento nos va a restringir de derechos básicos.

Ya no sabemos qué hacer hasta este punto, no podemos alquilar un piso propio, hemos estado buscando otras habitaciones que permitan empadronamiento y teniendo un perro a nuestro cargo (le adoptamos hace 6 años cuando nos iba bien y teníamos piso propio...) se nos hace imposible todo.

He visto que se puede solicitar empadronamiento sin domicilio fijo en Madrid, el problema es que creo que eso incurre en que deba venir la policía local a confirmar que residimos aquí y cuando vean que se está incumpliendo la cláusula del contrato a mi amiga le podrían resolver el contrato perjudicando a todos...

¿Qué hacemos?