Ejercicio de calculo integral, valor promedio
Calcula el valor promedio de la función en el intervalo dado
Gráfica y checa el valor promedio a partir de la gráfica dada
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Cristal!
EL valor promedio es la integral definida en el intervalo dividida por la longitud de este.
$$\begin{align}&\overline{f_{[a,b]}}=\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\\&\\&\overline{g_{[0,\frac \pi 2]}}=\frac{\int_1^4 \sqrt x\;dx}{4-1}=\frac 13\int x^{\frac 12}dx=\\&\\&\frac 13·\frac{x^{3/2}}{\frac 32}\bigg|_1^4=\frac 29x^{3/2}\bigg|_1^4=\frac 29(4^{3/2}-1)=\\&\\&\frac 29(\sqrt {64}-1)= \frac 29·(8-1)=\frac {14}9\end{align}$$
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Respuesta
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El valor promedio de la función es la integral en el intervalo entre la longitud del intervalo o, escrito en forma matemática sería:
$$\begin{align}&\overline{g(x)} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) dx\\&\text{En este caso}\\&\overline{g(x)} = \frac{1}{4-1} \int_1^4 \sqrt x dx\\&\text{Sabemos que} \int x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} (Para\ n \ne -1)\\&\text{Así que reescribamos la función como}\\&\overline{g(x)} = \frac{1}{4-1} \int_1^4 x^{1/2} dx=\frac{1}{3} \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}\bigg|_1^4=\\&\frac{2}{9} x^{3/2}\bigg|_1^4=\frac{2}{9}(4^{3/2}-1^{3/2})=\\&\frac{2}{9}(8-1)=\frac{14}{9}\end{align}$$Te dejo la gráfica de la función y del promedio
