Quien me puede orientar a realizar este ejercicio
si f es una funcion diferenciable de x,y y u=f(x,y), x=rcosθ , y=rsenθ
demuestre que
( ∂u/ ∂r)^2 + 1/r^2 ( ∂u/ ∂θ)^2 = ( ∂u/ ∂x)^2 + ( ∂u/ ∂y)^2
1 Respuesta
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La regla de la cadena con la notación de las derivadas como cociente de diferenciales proporciona algunos resultados fácilmente recordables como este
$$\begin{align}&\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial r}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial \theta}=\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial u}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{align}$$Con ello vamos escribir a desarrollar la parte izquierda y llegaremos a la parte derecha.
$$\begin{align}&\left(\frac{\partial u}{\partial r} \right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta} \right)^2=\\&\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial u}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial \theta} \right)^2=\\&\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}·\cos \theta+\frac{\partial u}{\partial y}·sen\,\theta \right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}·(-r\,sen\, \theta)+\frac{\partial u}{\partial y}·r \cos \theta \right)^2=\\&\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2cos^2\theta+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2sen^2\theta+2 \cos \theta·sen\,\theta·\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial u}{\partial y }+\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2sen^2\theta+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 \cos^2\theta-2 sen \theta·\cos \,\theta·\frac{\partial u}{\partial x}·\frac{\partial u}{\partial y }=\\&\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2(\cos^2\theta+sen^2\theta)+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2(sen^2\theta+\cos ^2\theta)=\\&\\&\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\end{align}$$·
Y eso es todo.
¡Gracias! por sus respuestas me han ayudado bastante y comprenderlo
Me podría explicar por favor el tercer paso se lo agradecería muchas gracias
¿El tercer paso es cuando aparecen el coseno, seno, -r·seno y r·coseno?
Es sencillo, simplemente he sustituido las derivadas parciales de x y y de la segunda línea por su valor.
$$\begin{align}&x=r·\cos \,\theta \implies \frac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta,\;\frac{\partial x}{\partial \theta}=-r·sen\,\theta\\&\\&y=r·sen\,\theta \implies \frac{\partial y}{\partial r}=sen \theta,\;\frac{\partial y}{\partial \theta}=r·\cos\theta\\&\end{align}$$Y eso es todo.
A ese si le entiendo me refería al siguiente que es el paso más largo espero que me pueda ayudar de estas operaciones depende que pase de grado
El siguiente es simplemente desarrollar el cuadrado de un binomio, he usado esta fórmula
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
y esta otra
(-a+b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
todo ello aplicado a términos no simples, pero para eso tenemos esta otra formula
(a·b)^2 = a^2·b^2
Con esas dos fórmulas tienes que ser capaz de hacerlo.
Y en el segundo binomio aparecián unos r^2, pero como está todo multiplicado por 1/r^2 se simplifican y no los he puesto para ahorrar papel. Es que en una pizarra los pones y luego los tachas, pero aquí tienes que volver a escribir la línea y el ordenador se bloquea con cuadros de fórmula largos.
