Necesito su ayuda por favor con este ejercicio de Dinámica.
En este problema nos piden hallar el vector velocidad.
Por favor incluyan el procedimiento completo para mejor entendimiento hasta llegar al resultado,
Hogla Herrera!
La velocidad es la derivada de la posición en coordenadas cartesianas respecto del tiempo
Lo que haremos será transformar las coordenadas cilíndricas en cartesianas y así calculamos la derivada.
Sea un punto con coordenadas cilíndricas
(Ro, theta, z )
Sus coordenadas cartesianas son
(Ro·cos(theta), ro·sen(theta), z)
Luego la velocidad será
$$\begin{align}&\vec v(t)=\left(\frac d{dt}(\rho(t)\cos \theta(t)),\; \frac d{dt}(\rho(t)sen \theta(t)), \; \frac d{dt}z(t) \right)\end{align}$$No se gana nada desarrollando ls regla de la cadena, saldrá una expresión más larga y probablemente menos eficiente al calcularla.
Lo que no estoy seguro es si te han dado esos vectores para que describas la velocidad respecto de ellos, como no lo dicen explícitamente.
La verdad es que estoy convencido que te piden poner la velocidad en las coordenadas de ese sistema de tres vectores, no lo había hecho porque es un tema que no manejo muy bien y estaba espaerando la confirmación, pero vamos a hacerlo
Había dejado la velocidad con derivadas de productos sin efectuar, pero si las efectuamos veremos que el vector velocidad se puede expresar fácilmente en las coordenadas de ese sistema.
$$\begin{align}&\vec v(t)=\left(\frac d{dt}(\rho(t)\cos \theta(t)),\; \frac d{dt}(\rho(t)sen \theta(t)), \; \frac d{dt}z(t) \right)=\\ &\\ &\left(\rho'(t)\cos\theta(t)-\rho(t)sen\theta(t),\; \rho'(t)sen\theta(t)+\rho(t)\cos\theta(t),\;z'(t)\right)\\ &\\ &\text{Y los vectores son}\\ &\\ &\vec u_{\rho=}=(\cos\theta(t),\;sen\theta(t), \;0)\\ &\\ &\vec u_{\theta}=\frac{(\cos'\theta(t), sen'\theta(t), 0)}{\sqrt{(\cos'\theta(t))^2+(sen'\theta(t))^2+0^2}{}}=(-sen\theta(t), \cos\theta(t),0)\\ &\\ &\vec u_z=(0,0,1)\\ &\\ &\text{por lo que}\\ &\\ &\vec v= \rho'(t)\,\vec u_{\rho}+\rho(t)\vec u_{\theta}+ z'(t)\vec u_z\\ &\\ & \end{align}$$Y eso es todo.
No lo hice bien ahora lo corrijo:
$$\begin{align}&\vec v(t)=\left(\frac d{dt}(\rho(t)\cos \theta(t)),\; \frac d{dt}(\rho(t)sen \theta(t)), \; \frac d{dt}z(t) \right)=\\ &\\ &\left(\rho'(t)\cos\theta(t)-\rho(t)·sen\theta(t)·\theta'(t),\; \rho'(t)sen\theta(t)+\rho(t)·\cos\theta(t)·\theta'(t),\;z'(t)\right)\\ &\\ &\text{Y los vectores son}\\ &\\ &\vec u_{\rho=}=(\cos\theta(t),\;sen\theta(t), \;0)\\ &\\ &\vec u_{\theta}=(-sen\theta(t), \cos\theta(t),0)\\ &\\ &\vec u_z=(0,0,1)\\ &\\ &\text{por lo que}\\ &\\ &\vec v= \rho'(t)\;\vec u_{\rho}+\rho(t)\;\theta'(t)\;\vec u_{\theta}+ z'(t)\;\vec u_z\end{align}$$Y eso es todo.
1 respuesta más de otro experto
Complementando la respuesta de Valero... tal vez te sirva también la expresión de la velocidad como función de los vectores polares unitarios.
Con r = (ro) ro + (z) k0 ............................r0, k0 y fi0 son los versores polares
v = d r/dt = r' = (ro)' r0 + ro (fi0)' fi0 + (z)' k0
Los versores polares definidos en función de los correspondientes cartesianos serían:
ro = i0 cosφ + j0 sinφ
fi0= −i0 sinφ + j0 cosφ
k0=k0