Puedo pedir custodia total

Hola el tema es el siguiente resulta que tras una denuncia de coaciones y amenazas de mi ex-pareja (no estamos casados ni nada) y tras salir absuelto llegamos a un acuerdo en el que cada uno tenia a la niña unos días no firmamos nada en principio pero pasados unos días firmamos un documento de puño y letra donde pone que de mutuo acuerdo cada uno tenia a la niña (x) días y cada uno pagaba la manutención por individual cuando la tuviera, ella salio del domicilio familiar que compartíamos y que es de mi padre que no lo dejo para vivir ella ahora esta empadronada en otro domicilio en la misma localidad y yo sigo empadronado en el domicilio que compartíamos con mi hija como familia monoparental aunque no esta reconocido en ningún sitio, tengo posibilidad de empadronarme en otros dos sitios uno en propiedad y otro en casa de mis padres pero no me empadronado no se si esto influiría, quisiera saber si podría pedir la custodia total para mi (el padre )ya que ella es de un país del este y ya fue condenada en su país a pasar pensión de alimentos a un hijo que tubo en su anterior relación y la custodia se la dieron a el marido por abandono de hogar ya que abandono cuendo su hijo tenia 8 años aunque de vez en cuando le mandaba algo de dinero,podría pedir si quedaron antecedentes o algo así del abandono de hogar de su país en mi beneficio a través de (ECRIS) El Sistema Europeo de Información de Antecedentes Penales para una posible demanda de regulación paternofiliales ya que mi abogado dice que me darán la custodia compartida puesto que ella esta de acuerdo en firmar un convenio regulador de custodia compartida, pero quisiera pedir medidas cautelares puesto que creo que ella quiere marcharse a su país y como no tenemos ningún convenio regulador ella se sube en un coche con mi hija y desaparece y ves luego a buscarla, cuanto tardarían en llamarla el juzgado a ella si pido medidas a través de mi abogado, ya que mi abogado parece que pasa del tema y me tiene un poco mosqueado al no decirme cuanto tardarían en llamarla a ella al pedir las medidas cautelares