Demostración de integral de Lebesgue 2

a).- Sean:

$$\begin{align}&X=[0,1]\end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&S=B_([0,1])\end{align}$$

$$\begin{align}&μ=λ \end{align}$$

la medida de Lebesgue:

$$\begin{align}&α≥1   \end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&β>0\end{align}$$

Sea:

$$\begin{align}&f:X→R\end{align}$$

continua dada por:

$$\begin{align}&f(x)=x^(α-1)/(1+x^β )\end{align}$$

demostrar que la integral:

$$\begin{align}&∫_([0,1])^ ▒fdλ=∑_(n=0)^∞▒(-1)^n/(1+nβ)\end{align}$$

Hint: Expresar la función como:

$$\begin{align}&f(x)=x^(α-1) (1-x^β+x^2β-x^3β+⋯)=∑_(n=0)^∞▒〖f_n (n)〗\end{align}$$

Donde:

$$\begin{align}&f_n (x)=(1-x^β ) x^(α-1+2nβ)\end{align}$$

Si

$$\begin{align}&x∈[0,1)\end{align}$$

y recordar la integral de Riemann.

b)    Usando el inciso anterior da una expresión en series para:

$$\begin{align}&	ln⁡2\end{align}$$

Y para

$$\begin{align}&	π/4\end{align}$$

Hint: Expresa estas funciones con alfa y beta apropiados.