Compra vehículo segunda mano y vencimiento del seguro del anterior propietario. Traspaso.

Buenos días,

el pasado viernes compré un vehículo de segunda mano. Ya está a mi nombre, incluso.

El seguro del anterior propietario vence en octubre. ¿Puedo mantener beneficiarme de ese seguro hasta vencimiento y contratar uno nuevo a mi nombre cuando este finalice?¿Puedo coger el coche sin problemas, puesto que el vehículo esta asegurado?