En un día seleccionado alazar
Una vinatería cuenta con las instalaciones para atender a clientes que llegan en automóvil y a quienes llegan caminando. En un día seleccionado al azar, sean X y Y, respectivamente, los períodos de tiempo que se utilizan para cada caso y suponga que la función de densidad conjunta
para estas dos variables aleatorias es :
2/3 (x+2y), 0< = x < = 1, 0 < = y < = 1
f(x,y) =
0 en otro caso.
Saludos
1 respuesta
Oh! perdón, se me paso, las preguntas son:
a. Encuentre la densidad marginal de X.
b. Determine la densidad marginal de Y.
c. Calcule la probabilidad de que las instalaciones para quienes lleguen en automóvil se utilicen menos de la mitad del tiempo.
A mí, en esto problemas me gusta siempre comprobar si la función de densidad es correcta. Para ello la integral doble en el recinto donde la probabilidad no es nula debe valer 1. Como no lo piden en el problema lo comprobaré aparte con el ordenador.
Efectivamente, está bien.
a) Usaremos la definición de densidad marginal de X
$$\begin{align}&f_1(x) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\\ &\\ &\\ &f_1(x) = \frac 23\int_0^1(x+2y)dy=\\ &\\ &\frac 23 \left[xy+y^2 \right]_0^1 =\frac 23(x+1)\end{align}$$b) Hacemos lo mismo para la densidad marginal de Y
$$\begin{align}&f_2(y) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\\ &\\ &\\ &f_2(y) = \frac 23\int_0^1(x+2y)dx=\\ &\\ &\frac 23 \left[\frac {x^2}{2}+2yx \right]_0^1 =\frac 23\left(\frac 12+2y\right)=\frac{1+4y}{3}\end{align}$$Supongo que X era el tiempo para los de automóvil e Y para los de a pie.
Si el tiempo para X es menos de la mitad entonces X <= Y calculamos la probabilidad en la función de densidad conjunta pero haciendo y <= x, entonces x variará libremente entre 0 y 1 mientras que y variará entre 0 y x
$$\begin{align}&\int_0^1 \int _0^x \frac 23 (x+2y)dy dx =\\ &\\ &\frac 23\int_0^1\left[xy+y^2 \right]_0^xdx=\\ &\\ &\frac 23 \int_0^1 (x^2+x^2)dx =\\ &\\ &\frac 43\left[\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac 43·\frac 13 = \frac 49\end{align}$$Esa es la probabilidad 4/9 = 0.444...
Y eso es todo.
