Los cinco primeros polinomios de Taylor

Una de las cosas buenas que tiene la función e^x es que su derivada es ella misma, con lo cual todas las derivadas segunda, tercera, etc son e^x

Y para el desarrollo de Taylor en x=0 necesitaremos el valor e^0 = 1

Recordemos la fórmula de Taylor en x=0 (McLaurin)

$$f'(x)=f(0)+f'(0)·x + \frac{f''(0)}{2}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...$$

No sé si quieren decir los cinco primeros o hasta el polinomio de grado 5 o los 5 sin valer el de grado 0. Yo te escribo hasta el de grado 5 y tu verás si ese entra o no dependiendo como hayáis hecho algún ejercicio similar.

Los polinomio serán:

$$\begin{align}&p_0(x) = 1\\ &\\ &p_1(x) = 1+x\\ &\\ &p_2(x) = 1+x +\frac{x^2}{2}\\ &\\ &p_3(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\\ &\\ &p_4(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\\ &\\ &p_5(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\\ &\\ &\end{align}$$

Y la gráfica es:

Aparte de los polinomios, he puesto también la función e^x de negro.

La conclusión es que el polinomio se va pareciendo más a la función e^x, sobre todo a la derecha de 0. Fijate que el polinomio de grado 5 de color morado no se ve en la parte derecha por la gran coincidencia que tiene con e^x.

Y eso es todo.