Ejercicio de estadística 05

Vamos con ello.

Primero habrá que calcular k para que f sea una función de densidad. Para ello la integral doble sobre el recinto debe valer 1.

¡Creo que la función de densidad no está bien escrita!

Pones f(x,y)={(k/raíz(xy) ;0=x=1 ; 0=y=1 ;y=x

Seguramente has querido poner

f(x,y)=(k/raíz(xy) ; 0<=x<=1 ; 0<=y<=1 ;y<=x

Me arriesgo a hacerlo con esas modificaciones. Más útil a la hora de establecer los límites de integración, será unir las tres desigualdades en una:

f(x,y)={(k/raíz(xy) ; 0<=y<=x<=1; 0 en el resto

En las integrales dobles hay que tener mucho cuidado para asignar los límites a la variable que le corresponde y no a la otra, por eso voy a usar una notación donde aparecen ambas cosas justo detrás de cada integral.

Lo primero es calcular k para que la función sea de densidad, la integral doble deberá valer 1.

k${$1/sqrt(xy)dy con y€[0,x]}dx con x €[0,1] =

Entre llaves aparecerá la función primitiva pero sin evaluar entre los límites todavía

k${(2/x)sqrt(xy) con y€[0,x]}dx con x€[0,1] =

en la siguiente línea ya estará evaluada y tendremos la segunda integral

k$(2/x)sqrt(x^2)dx con x€[0,1] =

2k$dx con x€[0,1]

2kx con x€[0,1] = 2k

Y para que sea de densidad debe valer 1

2k = 1

k =1/2

Luego la función de densidad es

f(x,y) = 1/[2sqrt(xy)] ; Si 0<=y<=x<=1; 0 en el resto

El dominio donde la función de densidad no es nula es el triángulo inferior a la diagonal y=x en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Viene bien hacer el dibujo para saber qué limites habrá que usar en las densidades marginales.

En la marginal respecto a X se integra la probabilidad a lo largo de la recta vertical que pasa por un punto x. El segmento vertical que entra dentro del dominio donde la densidad no es nula y pasa por el punto x tiene coordenadas y de 0 a x

f1(x) = $1/[2sqrt(xy)]dy con y€[0,x] =

sqrt(xy)/x con y€[0,x] =

sqrt(x^2)/x = 1

Luego la función de densidad marginal de X es

f1(x) = 1 si 0<=x<=1; 0 en el resto

Para la densidad marginal respecto a Y se integra una linea horizontal a altura y. El segmento que entra donde hay densidad no nula tiene coordenadas x desde y hasta 1

f2(y) =$1/[2sqrt(xy)]dx con x€[y,1] =

sqrt(xy)/y con x€[y,1] =

sqrt(y)/y - sqrt(y^2)/y =

[1/sqrt(y)] - 1

Luego la función de densidad marginal de Y es:

f2(y) = [1/sqrt(y)] -1 si 0<=y<=1; 0 en el resto

La función de distribución condicional de X dado Y es

F(x | y) = $[f(t,y)/f2(y)]dt con t€[x,1] =

${1/[2sqrt(ty)]} / {[1/sqrt(y)}-1} dt con t€[x,1] =

He hecho las simplificaciones en hoja aparte porque es muy pesado y poco entendible escribirlo con este editor

$dt/{[2sqrt(t)]·[1-sqrt(y)]} con t€[x,1] =

sqrt(t) / [1-sqrt(y)] con t€[x,1] =

1 / [1-sqrt(y)] - sqrt(x) / [1-sqrt(y)] = [1-sqrt(x)] / [1-sqrt(y)]

Luego

F(x | y) = [1-sqrt(x)] / [1-sqrt(y)] si 0<=y<=x<=1; y <> 1

<> se usa en varios lenguajes de programación para decir "distinto de"

La función de distribución de Y dado X es:

F(y | x) = $[f(x,t)/f1(x)]dt con t€[0,x] =

$dt/[2sqrt(xt)] con t€[0,x] =

sqrt(xt)/x con t€[0,x] =

sqrt(x^2) / x = 1

Finalmente, las variables son independientes si y solo si la función de densidad es el producto de las funciones de densidad marginales. Pero

f1(x)·f2(y) = [1/sqrt(y)] -1 distinto de 1/[2sqrt(xy)]

Luego las variables X e Y son dependientes.

Y eso es todo.