Calculo de flujo
valeroasm que es flujo de una función F través de otra función G. Y para que me expliques eso a través del literal c del siguiente ejercicio. La verdad no casi no he resuelto ejercicios del tema.
Este es un concepto que viene de la Física, lo mismo que las integrales de línea que vienen del cálculo del trabajo.
La primera función no es una función cualquiera, es una función vectorial, en cada punto tiene tres valores, uno para cada componente. La suma vectorial de las tres componentes da un vector con una dirección y una longitud.
La segunda función es una superficie delimitada por un contorno.
Se trata de calcular cuánto campo vectorial para por la superficie de manera perpendicular. Si el vector en un punto de la superficie no incide perpendicularmente sobre ella se halla la componente del vector que es perpendicular a la superficie. Como campo vectorial piensa en un campo magnético o eléctrico que los habrás visto representados por líneas de fuerza. Pero piensa también en el agua empujando a una superficie, o en el sol dando calor a una superficie. Si el sol incide en perpendicular la calienta más, hay más flujo.
El flujo se calcula como la suma de los flujos de los trocitos en que dividimos la superficie, como vamos a hacer trocitos muy pequeños va a salir una integral. Y la función que se integra en cada trocito es el producto escalar del campo vectorial por el vector normal a la superficie, eso indica cuanta fuerza, presión u otra cosa se está ejerciendo en ese punto
$$Flujo =\int_S \vec F· \vec {dS}$$Ahora tengo que dejarlo que voy a dormir, te mando lo escrito para que no se pierda. En realidad yo no soy un gran teórico de esto, en tu libro te lo dirá mejor seguramente.
hasta ahora te entiendo.
Pues suponiendo de la superficie pueda ponerse como una función de x, y
z=f(x,y)
Vamos a calcular el vector dS en cada punto.
Como dijimos dS es un vector perpendicular a la superficie y cuyo módulo es la superficie. Los trocitos de superficie los vamos a aproximar por el plano tangente, cada uno tendrá una proyección sobre el plano z=0 de longitudes dx y dy, pero ese trocito de plano tangente estará inclinado y su figura es un paralelogramo. Para calcular su superficie se puede usar la formula del módulo del producto vectorial de dos lados confluyentes en un vértice tomados como vectores.
Uno de los lados tomado como vector del paralelogramo es paralelo al eje X, sus coordenadas son
$$\begin{align}&\vec {l_x}=\left(dx, 0, \frac{\partial z(x,y)}{\partial x}dx \right)\\ &\\ &\text{el otro lado es}\\ &\\ &\vec{l_y}=\left(0, dy, \frac{\partial z}{\partial y}dy \right)\\ &\\ &\vec{dS}=\vec{l_x}\times \vec{l_y}=\\ &\\ &-\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}dxdy \,\vec i-\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}dxdy \,\vec j+ dxdy\,\vec k\end{align}$$Y ahora hay que hacer el producto escalar de ese vector dS por el vector del campo vectorial en el punto, El campo vectorial es
$$\begin{align}&\vec {F}(x,y,z)=X(x,y,z)\vec i + Y(x,y,z)\vec j+Z(x,y,z)\vec k\\ &\\ &tendremos\\ &\\ &\vec F·\vec {dS}=\left(-X·\frac{\partial z}{\partial x}-Y·\frac{\partial z}{\partial y}+Z\right)dxdy\\ &\\ &Flujo =\iint_D \left(-X·\frac{\partial z}{\partial x}-Y·\frac{\partial z}{\partial y}+Z\right)dxdy\end{align}$$D es el dominio de integración que es la proyección de la superficie sobe el plano z=0
Y las veces que aparezca z en la integral debe ser sustituido por la función de x, y que determina la superficie.
Vamos con el problema
F(x,y,z) = 2xyi + 2yzj + 2xzk
la superficie es el plano
x+y+z = 2a
luego puesta como función z(x,y) es
z = 2a-x-y
parcial z / parcial x = -1
parcial z / parcial y = -1
$$\begin{align}&Flujo =\iint_D \left(-X·\frac{\partial z}{\partial x}-Y·\frac{\partial z}{\partial y}+Z\right)dxdy=\\ &\\ &\int_0^a\int_0^a\left[-2xy(-1)-2yz(-1)+2xz\right]\;dx dy=\\ &\\ &\int_0^a\int_0^a\left[2xy+2yz+2xz\right]\;dx dy=\\ &\\ &\text{sustituimos z= 2a-x-y}\\ &\\ &\int_0^a\int_0^a\left[2xy+2y(2a-x-y)+2x(2a-x-y)\right]\;dxdy =\\ &\\ &\\ &\int_0^a\int_0^a\left(2xy +4ay-2xy-2y^2+4ax-2x^2-2xy\right)dxdy=\\ &\\ &\\ &\int_0^a\int_0^a\left(4ay-2xy-2y^2+4ax-2x^2\right)dxdy=\\ &\\ &\\ &\int_0^a \left[4axy -x^2y-2xy^2+2ax^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^a dy=\\ &\\ &\\ &\int\left(4a^2y-a^2y-2ay^2+2a^3-\frac{2a^3}{3}\right)dy=\\ &\\ &\\ &\int\left(3a^2y-2ay^2+\frac{4a^3}{3}\right)dy=\\ &\\ &\left[\frac{3a^2y^2}{2}-\frac{2ay^3}{3}+\frac{4a^3y}{3}\right]_0^a=\\ &\\ &\frac{3a^4}{2}- \frac{2a^4}{3}+\frac{4a^4}{3}=\\ &\\ &\frac{9a^4-4a^4+8a^4}{6}= \frac{13a^4}{6}\end{align}$$Y eso es todo, quizá la parte teórica la tengas mejor explicada en tu libro u otro sitio, la verdad es que este tema no lo domino muy bien y me ha costado escribirlo. Aparte que faltarían gráficos 3D de los diferenciales de superficie para entenderlo mejor.
