Máximos y mínimos y gráfica de una función 3

Los máximos son los puntos donde la derivada primera es 0 y la segunda es negativa, los mínimos aquellos donde la derivada primera es cero y la segunda es positiva.

La concavidad o convexidad dejo de llamarse de esa forma porque no había de poner de acuerdo a los anglosajones y los españoles por ejemplo. Ellos llamaban convexo a lo que nosotros llamábamos cóncavo y viceversa. Por eso se acuñaron los términos cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Cóncava hacia arriba es la que tiene forma de U y la derivada segunda es positiva. Cóncava hacia abajo es la que tiene forma de n y la derivada segunda es negativa.

a)

f(x) = -x^4+2x^2+12

f '(x) = -4x^3 + 4x =0

Hay una solución inmediata x=0

simplificando

-x^2 +1 = 0

x^2=1

x=-1 y 1

Luego los tres puntos críticos son -1, 0, 1

f ''(x) = -12x^2 + 4

f ''(-1) = -12(-1)^2 +4 = -8 luego x=-1 es un máximo

Calculamos f(-1) para dar las dos coordenadas del máximo

f(-1) = -[(-1)^4] + 2(-1)^2+12 = -1+2+12 = 13

Luego (-1, 13) es un mínimo relativo

f ''(0) = -12·0 + 4 = 4 luego x=0 es un mínimo

f(0) = 12

Luego (0,12) es un máximo relativo

f ''(1) = -12·1^2 + 4 = -8 luego x=1 es un máximo

f(1) = -(1^4) + 2·1^2 + 12 = -1 +2 +12 = 13

La concavidad cambia de sentido cuando la derivada segunda se anula

f ''(x) = -12x^2+4 = 0

12x^2 = 4

x^2 = 1/3

x = - sqrt(1/3) y sqrt(1/3)

Esto divide la recta real en tres intervalos, tomaremos un representante de cada uno de ellos para saber el signo de la derivada segunda en todo ese intervalo. No conocemos el valor exacto de la raíz cuadrada de 1/3 pero sabemos que es menor que 1

(-oo, -sqrt(1/3)) tomamos x=-1; f ''(-1) = -12(-1)^2 + 4 = -12+4=-8 cóncava hacia abajo

(-sqrt(1/3) , sqrt(1/3)) tomamos x=0; f ''(0) = 4 es cóncava hacia arriba

(sqrt(1/3), +oo) tomamos x=1; f ''(1) = -12 +4 = -8 es cóncava hacia abajo

b)

f(x) = x^5-x^3

f '(x) = 5x^4 - 3x^2 = 0

Tenemos la respuesta inmediata x=0

Simplificando

5x^2-3=0

x^2 = 3/5

x = -sqrt(3/5) y sqrt(3/5)

Los puntos críticos son -sqrt(3/5), 0, sqrt(3/5)

La derivada segunda es

f ''(x) = 20x^3 - 6x

Va a ser complicado entender los resultados sin el editor de ecuaciones

$$f''\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$$

Bueno, ya ves que el ejercicio es fácil pero va a llevar bastante trabajo, luego te pido que lo mandes en otra pregunta. Solo se contestan dos ejercicios en una misma pregunta si lleva poco trabajo el hacerlo.

Gracias Experto valeroasm.

Te envío el inciso b en una nueva pregunta.

También te comento que se inicio mal la primer derivada, ya que era 5x^4-15x^2

Saludos y de nuevo mil gracias.