Calcular la derivada de

Entre 180º y 270º es el tercer cuadrante, donde tanto el seno como el coseno son negativos, así que ya sabemos el signo que deben tener. Vamos a calcular a partir del dato que nos dan

tga = sena/cosa = 2

sena = 2cosa

elevamos al cuadrado

sen^2(a) = 4cos^2(a)

Y ahora debemos ponerlo todo en función de una sola función trigonométrica, por ejemplo del coseno, como sen^2(a) = 1-cos^2(a) tendremos

1-cos^2(a) = 4cos^2(a)

5cos^2(a) = 1

cos^2(a) = 1/5

cosa = - sqrt(1/5)

ya le hemos puesto el signo - por ser del tercer cuadrante.

y ahora calculamos el seno ya también poniendo el signo -

sena = - sqrt[1 -cos^2(a)] = - sqrt(1 - 1/5) = -sqrt(4/5) = -2 / sqrt(5)

Bueno, ya conoces la manía que hay que no haya raíces cuadradas en el denominador, te daré las respuestas racionalizadas.

$$\begin{align}&sen\,\alpha = \frac{2}{\sqrt 5}= \frac{2 \sqrt 5}{5}\\ &\\ &\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt 5} = \frac{\sqrt 5}{5}\\ &\\ &tg\,\alpha = 2\\ &\\ &ctg\,\alpha = \frac 12\\ &\\ &sec\, \alpha = \sqrt 5\\ &\\ &csc\,\alpha = \frac{\sqrt 5}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.