Plano paralelo a dos rectas en el espacio
Tengo una duda de como encontrar un plano paralelo a dos rectas alabeadas, por ejemplo las rectas
(x,y,z) = (-2;-1;0) k + (-1;0;-1)
(x,y,z) = (1;-1;2) L + (5;1;-8)
Me pide encontrar un plano que no las corte y que este a la misma distancia de las dos rectas.
Yo hice la intersección y son alabeadas pero tengo dudas si con el producto vectorial puedo armar el plano con los vectores de las rectas o esto en este caso(encontrar el plano paralelo) np se puede hacer.
1 Respuesta
Para que un plano sea paralelo a una recta su vector director debe ser perpendicular al de la recta.
Como tienes dos rectas el producto vectorial te va a dar un vector perpendicular a ambas que es el indicado para ser vector director del plano
| i j k| |-2 -1 0| = -2i + 4j + 3k | 1 -1 2| Luego el plano será P: -2x + 4y + 3k + D = 0 Me ha quedado sin espacio de texto normal para escribir tengo que mandar la respuesta y luego vuelvo
Calculamos la distancia del plano a la recta calculando la distancia de un punto de la l recta al plano.
Ya nos dicen en punto de cada recta en la ecuación son
(-1,0.-1) y (5,1-8)
Haremos que la distancia al plano de ambos sea la misma. Por cierto, me equivoqué en la ecuación del plano, donde puse k debía poner z.
$$\begin{align}&\frac{|-2(-1)+4·0+3(-1)+ D|}{\sqrt{4+16+9}}= \frac{|-2·5+4·1+3(-8)+D|}{\sqrt{4+16+9}}\\ &\\ &|3+D| = |-30+D|\\ &\\ &\text{Si quitamos el valor absoluto nos da un absurdo}\\ &\text{Luego en uno de los dos hay que cambier el signo}\\ &3+D = 30-D\\ &2D = 27\\ &D = \frac{27}{2}\\ &\\ &\text{Luego la ecuación del plano es:}\\ &\\ &-2x+4y+3z+\frac{27}{2}= 0\\ &\\ &4x-8y -6z -27 = 0\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No recuerdo que hubiera hecho nunca este problema, por eso he tardado. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pídeme las aclaraciones y si ya es suficiente no olvides puntuar.
