Siempre y cuando n sea mayor o igual que 1, demuestre que el entero n(7n^2 +5)

Pues aquí probaré lo primero por inducción.

n(7n^2+5)

Para n = 1

1(7·1^2+5) = 7+5 = 12 es múltiplo de 6

Ahora supongamos que se cumple para n y veamos que se cumple para n+1

(n+1)[7(n+1)^2+5] =

(n+1)[7(n^2 + 2n + 1)+5)] =

(n+1)(7n^2 + 14n + 7 + 5) =

(n+1)(7n^2 + 14n + 12) =

7n^3 + 14n^2 + 12 n + 7n^2 + 14n + 12 =

7n^3 + 21n^2 + 26n + 12 =

Separaremos la parte correspondiente al número que correspondería a ese numero generado con n

7n^3 + 5n + 21n + 21n^2 + 12 =

n(7n^2+5) + 21n + 21n^2 +12 =

El primer sumando es múltiplo de 6 por hipótesis, el 12 también es múltiplo de 6, luego queda por demostrar que

21n+21n^2 es múltiplo de 6

Primeramente podemos restarle 18n+18n^2 que es múltiplo de 6 y queda

3n+3n^2

hay que comprobar que eso es múltiplo de 6

3n+3n^2 = 3n(1+n)

Si n es par 3n(1+n) será 3·2·algo = múltiplo de 6

Si n es impar, n+1 será par y tendremos 3·n(2·algo) = 6·n·algo= múltiplo de 6

Luego suponiendo que se cumplía para n hemos demostrado que se cumple para n+1. Eso, unido a que se cumplía para n=1 significa que se cumple para todo n, es una demostración por inducción.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Este era un poco más complicado.

Cuando tengas algún otro problema mándamelo, me gustan estos.