1 respuesta
5.93)
a)
Ya sabes, el teorema 5.10
Cov(Y1, Y2) = E(Y1·Y2) - E(Y1)E(Y2)
Lo complicado de este ejercicio es que habrá que dividir el intervalo de integración en dos partes.
$$\begin{align}&E(Y_1)=\int_{-1}^0\int_0^{y_1+1}y_1dy_2dy_1+\int_0^1\int_0^{1-y_1}y_1dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_{-1}^0 y_1\left[y_2 \right]_0^{y_1+1}dy_1+\int_0^1y_1\left[y_2 \right]_0^{1-y_1}dy_1dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_{-1}^0 (y_1^2+y_1)dy_1+\int_0^1 (y_1-y_1^2)dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{y_1^3}{3}+\frac{y_1^2}{2} \right]_{-1}^0+ \left[ \frac{y_1^2}{2}-\frac{y_1^3}{3} \right]_0^1=\\ &\\ &\frac 13-\frac 12 +\frac 12-\frac 13 =0\\ &\\ &\end{align}$$$$\begin{align}&E(Y_2)=\int_{-1}^0\int_0^{y_1+1}y_2dy_2dy_1+\int_0^1\int_0^{1-y_1}y_2dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{-1}^0 \left[ \frac{y_2^2}{2} \right]_0^{y_1+1}dy_1+\int_0^1 \left[ \frac{y_2^2}{2} \right]_0^{1-y_1}dy_1=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \int_{-1}^0 (y_1^2+2y_1+1)dy_1+\frac 12 \int_0^1(y_1^2-2y_1+1)dy_1=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \left[ \frac{y_1^3}{3}+y_1^2+y_1 \right]_{-1}^0+\frac 12 \left[ \frac{y_1^3}{3}-y_1^2+y_1 \right ]_0^1 =\\ &\\ &\frac 12 \left( \frac 13-1+1 +\frac 13-1+1\right)=\frac 12 ·\frac 23 = \frac 13\end{align}$$$$\begin{align}&E(Y_2)=\int_{-1}^0\int_0^{y_1+1}y_1y_2dy_2dy_1+\int_0^1\int_0^{1-y_1}y_1y_2dy_2dy_1=\\ &\\ &\int_{-1}^0y_1\left[\frac{y_2^2}{2}\right]_0^{y_1+1}dy_1+ \int_0^1y_1\left[ \frac{y_2^2}{2} \right]_0^{1-y_1}dy_1 =\\ &\\ &\\ &\frac 12\int_{-1}^0(y_1^3+2y_1^2+y_1)dy_1+\frac 12\int_0^1 (y_1^3-2y_1^2+y_1)dy_1=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \left[ \frac{y_1^4}{4}+\frac{2y_1^3}{3}+\frac{y_1^2}{2}\right]_{-1}^0+ \frac 12 \left[ \frac{y_1^4}{4}-\frac{2y_1^3}{3}+\frac{y_1^2}{2}\right]_0^1 =\\ &\\ &\\ &\frac 12 \left(-\frac 14+\frac 23-\frac 12 +\frac 14-\frac 23 + \frac 12 \right)= 0\\ &\end{align}$$¡UFF!
Cov(Y1, Y2) = 0 - 0 (1/3) = 0
b)
Me pase de tiempo. Ahora tengo que dejar el ordenador ya lo terminaré dentro de unas horas. Lo mando porque todo este trabajo no se puede perder.
¡Uy! Antes de apagare el ordenador deja que corrija una errata. De las tres esperanzas calculadas la ultima no es E(Y2 ) como escribe sino E(Y1·Y2). Se usa mucho el copiar y pegar y luego hay que acordarse de corregir las diferencias y a veces se olvida.
¡Ah, es sencillo! Pero no he dicho por qué se usa la función identidad como función de densidad. Cuando dicen que las variables están uniformemente distribuidas en algo la función de densidad es 1 entre la longitud de ese algo o entre el área de ese algo. En este caso están distribuidas uniformemente las dos y el recinto donde se distribuyen es un triángulo que fácilmente se ve que tiene área 1 ya que tiene 2 de base por 1 de altura. Al tener área 1 la constante de la distribución uniforme es 1/1 = 1
b) Si son independientes la covarianza es cero. Pero que la covarianza sea cero no implica que sean independientes. Hay que acudir a que son independientes si y solo si la función de distribución conjunta es el producto de las funciones de distribución individuales. O a que la función de distribución conjunta sea el producto de las marginales. También hay un teorema que dice que si la función de densidad conjunta es producto de dos funciones no negativas que una solo depende de y1 y la otra solo de y2... pero se exige que los limites de integración sean constantes numéricas y aquí no lo son.
Luego lo que haremos es calcular las funciones de densidad marginales y veremos si su producto es la conjunta.
$$\begin{align}&si \;-1<=y_1<=0\implies f_1(y_1)=\int_0^{1+y_1}dy_2= 1+y_1\\ &\\ &si \;0<=y_1<=1\implies f_1(y_1)=\int_0^{1-y_1}dy_2= 1-y_1\\ &\\ &\\ &f_2(y_2) =\int_{-1+y_2}^{1-y2}dy1 =2-2y_2\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y no es necesario hacer las cuentas exactas, se ve claramente que el producto f1(y1) ·f2(y2) no es la identidad. Luego no son independientes.
c) El coeficiente de correlación es la covarianza dividida entre el producto de las desviaciones. Como la covarianza es cero el coeficiente de correlación es cero.
d) No, tengo claro que independientes implica covarianza cero pero no al contrario.
Y eso es todo.
