Números complejos. Bachillerato

1) Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular, de centro en el origen, sabiendo que uno de sus vértices es el afijo del número complejo 2-- 180 grados.
2) Un cuadrado de centro 0 tiene un vértice en (3,4). Halla las coordenadas de los demás vértices.
3) Un cuadrado tiene sus vértices por encima del eje real. Si dos vértices consecutivos del cuadrado son 2+i y 5+3i, halla los otros dos vértices.
Por favor dese prisa que tengo el examen el viernes.

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1 Respuesta

2.875 pts. Estudiante de la licenciatura en matemáticas, 2 años...

Por supuesto que puedo ayudarte.

En la primera pregunta, sabemos que el centro del hexágono es el origen, y la distancia del centro a sus vértices será 2 (pues es regular y la distancia del vértice que ya tenemos debe ser la misma para los demás). Por lo tanto, sólo falta obtener el argumento de los vértices (su dirección en términos de grados). Sabemos que uno tiene argumento de 180 grados, y que los ángulos deben ser iguales, por lo que dividimos nuestros 360 grados en 6 partes iguales de 60.

Entonces, el primer vértice será el que tiene dirección 180 grados y distancia al origen igual a 2; el complejo 2(cos(180)+isen(180))=2(-1+i0)=-2

Para el segundo vértice, la distancia al origen se mantiene, pero la dirección será de 180 grados mas 60, es decir, 240 grados. El vértice buscado será el complejo

$$2(\cos (240)+isen(240))= 2(\frac{-1}{2}+i\frac{-\sqrt3}{2})=-1-i\sqrt3$$
  

 Las direcciones de los otros 4 vértices serán 300, 0, 60, y 120 grados, y con el mismo proceso podemos saber que, como su distancia al origen es 2, los vértices son:

$$\sqrt3-i, 2, 1+i\sqrt3, -\sqrt3+i$$

2.- Si un vértice es (3,4) y el centro es el origen, podemos ver que la distancia del vértice al centro es de 5, por teorema de pitágoras. Escogemos el otro punto que está sobre la recta que pasa por el origen y por (3,4), que además dista en 5 del origen, este punto es (-3,-4). Observamos que el segmento de (-3,-4) a (3,4) es diagonal de nuestro cuadrado. Nos fijamos en que la pendiente de esta diagonal es 4/3, por lo tanto, la diagonal de la otra diagonal del cuadrado, es -3/4, pues las diagonales son siempre perpendiculares en un cuadrado. Ahora sólo nos falta buscar los puntos que distan en 5 del origen y están sobre la recta que pasa por el origen con pendiente -3/4. Estos 2 puntos buscados son (4,-3) y (-4,3).

3.- Sobre la tercera pregunta, primero medimos la distancia entre (2,1) y (5,3) para saber cuánto mide el lado del cuadrado.

$$\sqrt{((5-2)^2+(3-1)^2)}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$

   Observamos que la pendiente del segmento que pasa por (2,1) y (5,3) es 2/3, por lo que los segmentos perpendiculares tendrán pendiente -3/2. Los otros 2 vértices buscados estarán sobre estos 2 segmentos perpendiculares, a (raíz de 13) de distancia.

Buscamos el vértice del segmento que tiene un extremo en el origen, mide (raíz de 13) y tiene pendiente -3/2, y además, que está por encima del eje x.Es algún múltiplo de (2,-3), pero claramente, (2,-3) mide (raíz de 13), por lo que es el punto que buscamos. Bumamos este punto a los vértices ya conocidos para obtener los vértices buscados.

(2,1)+(2,-3)=(4,-2)

(5,3)+(2,-3)=(7, 0)

Y esa es la solución. Espero que te sea útil mi respuesta. Si algo te parece confuso, te lo han explicado de otro modo o quieres hacer alguna aclaración.

Esto no lo entiendo en el ejercicio 2: escogemos el otro punto que está sobre la recta que pasa por el origen y por (3,4), que además dista en 5 del origen, este punto es (-3,-4). Observamos que el segmento de (-3,-4) a (3,4) es diagonal de nuestro cuadrado

Y sobre el ejercicio 3 aún no he visto eso de pendiente :i

El ejercicio 1 si que lo entiendo!! :)?

Ok, tomaré otro enfoque. Para la segunda pregunta, tomaremos el vértice que ya nos dieron, (3,4) y lo rotaremos con respecto al origen, en ángulo de 90 grados, 3 veces. Para esto, buscaremos el complejo que le corresponde a (3,4) de la forma x (cos(y)+isen(y))

Como su medida es 5, Nuestro complejo será de la forma

$$5(3/5+i4/5)$$

3/5 es coseno y 4/5 es seno de un ángulo theta que no conocemos, pero no es necesario conocerlo, ya que tenemos las siguientes identidades trigonométricas:

$$\begin{align}&sen(\theta+90)=\cos(\theta)\\ &\cos(\theta+90)=-sen(\theta)\end{align}$$

Con esto puedo saber que si el coseno theta es 3/5 y el seno de theta es 4/5, entonces

$$\begin{align}&\cos(\theta+90)=-4/5\\ &\cos(\theta+180)=-3/5\\ &\cos(\theta+270)=4/5\\ &sen(\theta+90)=3/5\\ &sen(\theta+180)=-4/5\\ &sen(\theta+270)=-3/5\end{align}$$
   Los complejos que busco serán 
$$\begin{align}&5(\cos(\theta+90)+isen(\theta+90))=5(-4/5+i3/5)=-4+3i=(-4,3)\\ &5(\cos(\theta+180)+isen(\theta+180))=5(-3/5-i4/5)=-3-4i=(-3,-4)\\ &5(\cos(\theta+270)+isen(\theta+270))=5(4/5-i3/5)=4-3i=(4,-3)\end{align}$$

   Y esos son los vértices que buscábamos.

En la tercera pregunta, haremos lo siguiente, tomaremos el número complejo que es el lado de nuestro cuadrado, lo rotaremos 90 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj, con el mismo proceso que usamos para el ejercicio pasado, y lo sumaremos a los vértices que ya teníamos. Primero, el número complejo que representa al lado de nuestro cuadrado es (3+5i)-(1+2i)=2+3i, que es igual a

$$\sqrt{13}(\frac{2}{\sqrt{13}}+i\frac{3}{\sqrt{13}})$$
  

 donde 2/(raíz de 13) es coseno de un ángulo theta, y 3/(raíz de 13) seno del mismo ángulo theta. Al rotarlo 90 grados con el procedimiento del último ejercicio voy obtener que el lado que estoy buscando es:

$$\sqrt{13}(\frac{-3}{\sqrt{13}}+i\frac{2}{\sqrt{13}})=-3+2i=(-3,2)$$

 Sumamos este complejo a los vértices que ya tenía, 

(2,1)+(-3,2)=(-1,3)

(3,5)+(-3,2)=(0,7)

¿Que tal así? Creo que te acomodaste más a la rotación de complejos en el primer ejercicio, así que tomé enfoques parecidos para los otros. ¿Mejor?

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