Iineral y tensor de inercia

1. Calcular la integral

$$\begin{align}&?_s¦?- y dx+x dy?\\ &\\ &donde s=dO es la frontera del dominio O dado por el polinomio de vertices A= (1,1), B= (4,1), C= (4,3), D=(2,3), E=(1,2) orientada positivamente.\end{align}$$

2. Se considera el tensor de inercia dado para la estación internacional

$$\begin{align}&(¦(127908568     314229     [email protected]       107362480  [email protected]     1345279      200432320))  Kg m2\\ &\\ &(es una matriz 3x3, ya que no se ve muy bien)\\ &\\ &Simular en una orbita circolar de periodo 93min el movimiento del gradiente de gravedad respecto a una perturbacion de viraje de 10^-5 radianes\end{align}$$
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Las preguntas no están muy claras,

¿La primera es una integral de línea?

Supongo que cuando dices polinomio de vértices quieres decir polígono de vértices.

La segunda deberías formularla en otra pregunta distinta ya que cada ejercicio debe ir en una pregunta. Pero tendrías que hacer que se viera claramente. A veces queda mejor escribir la pregunta a mano que con el editor de ecuaciones si no se hace bien. Además con los tensores voy muy mal, no sé si podré hacer algo porque no tengo tiempo para estudiarlos.

Lo primero muchas gracias por contestar.

en segundo lugar pondré algo mas claro el 1º ejercicio, ya que es mi primera vez y no vi que las formulas se ven un poco mal.

1. Calcular la integral de sigma de (- y dx + x dy);

donde sigma= d ? es la frontera del dominio ? dado por el polígono de vértices A=(1,1),B=(4,1),C=(4,3),D=(2,3),E=(1,2) orientada positivamente.

Hagamos en un papel la gráfica del polígono para ver cuál es el sentido positivo (el contrario de las agujas del reloj). Se comprueba que el orden ABCDEA es el positivo.

Debemos parametrizar los cinco segmentos, los haremos todos con parámetro entre 0 y 1 para que podamos calcular todo en una integral en vez de hacer 5.

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^5\int_0^1\left[-y_i(t)x_i'(t)+ x_i(t)y_i'(t)\right]dt=\\ &\\ &\int_0^1 \left(\sum_{i=1}^5 \left[-y_i(t)x_i'(t)+ x_i(t)y_i'(t)\right]\right)dt\end{align}$$

AB = (4,1)-(1,1) = (3,0)

(x,y) = (1,1)+t(3,0) = (1+3t, 1) con t €[1,1]

dx=3; dy=0

BC=(4,3)-(4,1) = (0,2)

(x,y) = (4,1)+t(0,2) = (4, 1+2t) con t € [0, 1]

dx=0; dy=2

CD = (2,3) - (4,3) = (-2, 0)

(x,y) = (4,3)+t(-2,0) = (4-2t, 3) con t € [0, 1]

dx=-2; dy=0

DE = (1,2) - (2,3) = (-1, -1)

(x,y) = (2,3) + t(-1,-1) = (2-t, 3-t) con t € [0, 1]

dx=-1; dy=-1

EA = (1,1) -(1,2) = (0,-1)

(x,y) = (1,2) +t(0,-1) = (1, 2-t) con t € [0, 1]

dx=0; dy=-1

Es la integral de -ydx +xdy entre t=0 y t=1

Debemos evaluar -ydx +xdy en cada uno de los 5 trozos y sumarlos todos. Habrá varios sumandos que son cero porque la dx o dy es 0

En AB -1·3 + (1+3t)·0 = -3

En BC -(1+2t)·0 + 4·2 = 8

En CD -3·(-2) + (4-2t)·0 = 6

En DE -(3-t)(-1) + (2-t)(-1) = 3-t-2+t = 1

En EA -(2-t)·0 + 1(-1) = -1

La suma de todo es

-3+8+6+1-1 = 11

Luego la integral de línea queda reducida a

$$\int_0^1 11dt = 11t|_0^1= 11$$

Luego la integral de línea vale 11.

No se si te habrá sorprendido el método de sumar previamente todo lo que hay dentro de las integrales en vez de hacerlas una por una, pero la ventaja está bien clara. Ten en cuenta que eran todas integrales de t entre 0 y 1, por eso se ha podido hacer esto. Y luego ha dado también la casualidad de que por la simplicidad del campo vectorial la suma ha dado un valor constante en lugar de una buena función de t.

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